Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9679 / 7375
↖ ↑ ↗
← N 17.664960°
E 32.673340°		 ← 2 328.01 m → N 17.664960°
E 32.695312°		 →
↑
2 328.15 m
↓
↑
2 328.15 m
↓
N 17.644022°
E 32.673340°		 ← 2 328.28 m →
5 420 283 m²		 N 17.644022°
E 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590789794921875 y=0.450164794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590789794921875 × 214)
    floor (0.590789794921875 × 16384)
    floor (9679.5)     		tx = 9679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450164794921875 × 214)
    floor (0.450164794921875 × 16384)
    floor (7375.5)     		ty = 7375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9679 / 7375 ti = "14/9679/7375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9679/7375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9679 ÷ 214
    9679 ÷ 16384     		x = 0.59075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7375 ÷ 214
    7375 ÷ 16384     		y = 0.45013427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45013427734375 × 2 - 1) × π
    0.0997314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.313315575916687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57025736} λ = 0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.313315575916687))-π/2
    2×atan(1.36795315598999)-π/2
    2×0.939554019030733-π/2
    1.87910803806147-1.57079632675     		φ = 0.30831171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30831171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.664960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9679 KachelY 7375 0.57025736 0.30831171 32.673340 17.664960
    Oben rechts KachelX + 1 9680 KachelY 7375 0.57064085 0.30831171 32.695312 17.664960
    Unten links KachelX 9679 KachelY + 1 7376 0.57025736 0.30794628 32.673340 17.644022
    Unten rechts KachelX + 1 9680 KachelY + 1 7376 0.57064085 0.30794628 32.695312 17.644022
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30831171-0.30794628) × R
    0.00036543 × 6371000     		dl = 2328.15453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30831171-0.30794628) × R
    0.00036543 × 6371000     		dr = 2328.15453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57025736-0.57064085) × cos(0.30831171) × R
    0.000383489999999931 × 0.952847239857493 × 6371000     		do = 2328.01046903009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57025736-0.57064085) × cos(0.30794628) × R
    0.000383489999999931 × 0.952958066108848 × 6371000     		du = 2328.28124136652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30831171)-sin(0.30794628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952847239857493-0.952958066108848)×R²
    abs(0.57064085-0.57025736)×0.000110826251355389×R²
    0.000383489999999931×0.000110826251355389×6371000²
    0.000383489999999931×0.000110826251355389×40589641000000     		ar = 5420283.37959902m²