Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9679 / 10482
↖ ↑ ↗
← S 44.871443°
E 32.673340°		 ← 1 731.49 m → S 44.871443°
E 32.695312°		 →
↑
1 731.26 m
↓
↑
1 731.26 m
↓
S 44.887013°
E 32.673340°		 ← 1 731.02 m →
2 997 239 m²		 S 44.887013°
E 32.695312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590789794921875 y=0.639801025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590789794921875 × 214)
    floor (0.590789794921875 × 16384)
    floor (9679.5)     		tx = 9679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639801025390625 × 214)
    floor (0.639801025390625 × 16384)
    floor (10482.5)     		ty = 10482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9679 / 10482 ti = "14/9679/10482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9679/10482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9679 ÷ 214
    9679 ÷ 16384     		x = 0.59075927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10482 ÷ 214
    10482 ÷ 16384     		y = 0.6397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59075927734375 × 2 - 1) × π
    0.1815185546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.57025736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.878204001039429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.57025736} λ = 0.57025736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878204001039429))-π/2
    2×atan(0.415528530724914)-π/2
    2×0.393820955351076-π/2
    0.787641910702151-1.57079632675     		φ = -0.78315442
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.57025736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78315442 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.871443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9679 KachelY 10482 0.57025736 -0.78315442 32.673340 -44.871443
    Oben rechts KachelX + 1 9680 KachelY 10482 0.57064085 -0.78315442 32.695312 -44.871443
    Unten links KachelX 9679 KachelY + 1 10483 0.57025736 -0.78342616 32.673340 -44.887013
    Unten rechts KachelX + 1 9680 KachelY + 1 10483 0.57064085 -0.78342616 32.695312 -44.887013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78315442--0.78342616) × R
    0.000271739999999965 × 6371000     		dl = 1731.25553999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78315442--0.78342616) × R
    0.000271739999999965 × 6371000     		dr = 1731.25553999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.57025736-0.57064085) × cos(-0.78315442) × R
    0.000383489999999931 × 0.708691566103956 × 6371000     		do = 1731.48571585314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.57025736-0.57064085) × cos(-0.78342616) × R
    0.000383489999999931 × 0.708499822360578 × 6371000     		du = 1731.01724470343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78315442)-sin(-0.78342616))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708691566103956-0.708499822360578)×R²
    abs(0.57064085-0.57025736)×0.000191743743377715×R²
    0.000383489999999931×0.000191743743377715×6371000²
    0.000383489999999931×0.000191743743377715×40589641000000     		ar = 2997238.73480929m²