Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9670 / 7358
↖ ↑ ↗
← N 18.020528°
E 32.475586°		 ← 2 323.43 m → N 18.020528°
E 32.497559°		 →
↑
2 323.50 m
↓
↑
2 323.50 m
↓
N 17.999632°
E 32.475586°		 ← 2 323.70 m →
5 398 807 m²		 N 17.999632°
E 32.497559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590240478515625 y=0.449127197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590240478515625 × 214)
    floor (0.590240478515625 × 16384)
    floor (9670.5)     		tx = 9670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449127197265625 × 214)
    floor (0.449127197265625 × 16384)
    floor (7358.5)     		ty = 7358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9670 / 7358 ti = "14/9670/7358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9670/7358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9670 ÷ 214
    9670 ÷ 16384     		x = 0.5902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7358 ÷ 214
    7358 ÷ 16384     		y = 0.4490966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5902099609375 × 2 - 1) × π
    0.180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56680590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4490966796875 × 2 - 1) × π
    0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56680590} λ = 0.56680590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319834994265015))-π/2
    2×atan(1.37690054910346)-π/2
    2×0.942656933681214-π/2
    1.88531386736243-1.57079632675     		φ = 0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56680590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.475586°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9670 KachelY 7358 0.56680590 0.31451754 32.475586 18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 9671 KachelY 7358 0.56718940 0.31451754 32.497559 18.020528
    Unten links KachelX 9670 KachelY + 1 7359 0.56680590 0.31415284 32.475586 17.999632
    Unten rechts KachelX + 1 9671 KachelY + 1 7359 0.56718940 0.31415284 32.497559 17.999632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31451754-0.31415284) × R
    0.000364699999999996 × 6371000     		dl = 2323.50369999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31451754-0.31415284) × R
    0.000364699999999996 × 6371000     		dr = 2323.50369999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56680590-0.56718940) × cos(0.31451754) × R
    0.000383499999999981 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 2323.42528684181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56680590-0.56718940) × cos(0.31415284) × R
    0.000383499999999981 × 0.951058501820641 × 6371000     		du = 2323.70078974047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31451754)-sin(0.31415284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.951058501820641)×R²
    abs(0.56718940-0.56680590)×0.000112759514995897×R²
    0.000383499999999981×0.000112759514995897×6371000²
    0.000383499999999981×0.000112759514995897×40589641000000     		ar = 5398807.37649202m²