Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9670 / 7351
↖ ↑ ↗
← N 69.934070°
W 73.762207°		 ← 419.15 m → N 69.934070°
W 73.751221°		 →
↑
419.15 m
↓
↑
419.15 m
↓
N 69.930300°
W 73.762207°		 ← 419.22 m →
175 700 m²		 N 69.930300°
W 73.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.295120239257812 y=0.224349975585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.295120239257812 × 215)
    floor (0.295120239257812 × 32768)
    floor (9670.5)     		tx = 9670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224349975585938 × 215)
    floor (0.224349975585938 × 32768)
    floor (7351.5)     		ty = 7351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9670 / 7351 ti = "15/9670/7351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9670/7351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9670 ÷ 215
    9670 ÷ 32768     		x = 0.29510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7351 ÷ 215
    7351 ÷ 32768     		y = 0.224334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.29510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.4097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -1.28739338
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224334716796875 × 2 - 1) × π
    0.55133056640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.73205605707187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.28739338} λ = -1.28739338}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73205605707187))-π/2
    2×atan(5.65226334552955)-π/2
    2×1.39568805325977-π/2
    2.79137610651955-1.57079632675     		φ = 1.22057978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.28739338} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22057978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.934070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9670 KachelY 7351 -1.28739338 1.22057978 -73.762207 69.934070
    Oben rechts KachelX + 1 9671 KachelY 7351 -1.28720163 1.22057978 -73.751221 69.934070
    Unten links KachelX 9670 KachelY + 1 7352 -1.28739338 1.22051399 -73.762207 69.930300
    Unten rechts KachelX + 1 9671 KachelY + 1 7352 -1.28720163 1.22051399 -73.751221 69.930300
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22057978-1.22051399) × R
    6.57900000000655e-05 × 6371000     		dl = 419.148090000417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22057978-1.22051399) × R
    6.57900000000655e-05 × 6371000     		dr = 419.148090000417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.28739338--1.28720163) × cos(1.22057978) × R
    0.000191749999999935 × 0.343101217564372 × 6371000     		do = 419.145914099284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.28739338--1.28720163) × cos(1.22051399) × R
    0.000191749999999935 × 0.343163013265997 × 6371000     		du = 419.221406153871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22057978)-sin(1.22051399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343101217564372-0.343163013265997)×R²
    abs(-1.28720163--1.28739338)×6.17957016255111e-05×R²
    0.000191749999999935×6.17957016255111e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.17957016255111e-05×40589641000000     		ar = 175700.030565206m²