Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 967 / 616
↖ ↑ ↗
← N 58.077876°
W 10.019531°		 ← 10.335 km → N 58.077876°
W  9.843750°		 →
↑
10.349 km
↓
↑
10.349 km
↓
N 57.984808°
W 10.019531°		 ← 10.362 km →
107.095 km²		 N 57.984808°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472412109375 y=0.301025390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472412109375 × 211)
    floor (0.472412109375 × 2048)
    floor (967.5)     		tx = 967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301025390625 × 211)
    floor (0.301025390625 × 2048)
    floor (616.5)     		ty = 616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 967 / 616 ti = "11/967/616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/967/616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 967 ÷ 211
    967 ÷ 2048     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 616 ÷ 211
    616 ÷ 2048     		y = 0.30078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30078125 × 2 - 1) × π
    0.3984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.25172832287891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.25172832287891))-π/2
    2×atan(3.49638061305668)-π/2
    2×1.29222324510814-π/2
    2.58444649021628-1.57079632675     		φ = 1.01365016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01365016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.077876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 967 KachelY 616 -0.17487381 1.01365016 -10.019531 58.077876
    Oben rechts KachelX + 1 968 KachelY 616 -0.17180585 1.01365016 -9.843750 58.077876
    Unten links KachelX 967 KachelY + 1 617 -0.17487381 1.01202582 -10.019531 57.984808
    Unten rechts KachelX + 1 968 KachelY + 1 617 -0.17180585 1.01202582 -9.843750 57.984808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01365016-1.01202582) × R
    0.00162434 × 6371000     		dl = 10348.67014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01365016-1.01202582) × R
    0.00162434 × 6371000     		dr = 10348.67014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17180585) × cos(1.01365016) × R
    0.00306795999999998 × 0.528766113348559 × 6371000     		do = 10335.2482594284m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17180585) × cos(1.01202582) × R
    0.00306795999999998 × 0.530144102296652 × 6371000     		du = 10362.1823944226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01365016)-sin(1.01202582))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.528766113348559-0.530144102296652)×R²
    abs(-0.17180585--0.17487381)×0.00137798894809282×R²
    0.00306795999999998×0.00137798894809282×6371000²
    0.00306795999999998×0.00137798894809282×40589641000000     		ar = 107095464.838548m²