Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 967 / 197
↖ ↑ ↗
← N 73.528399°
E159.960937°		 ← 11.084 km → N 73.528399°
E160.312500°		 →
↑
11.117 km
↓
↑
11.117 km
↓
N 73.428424°
E159.960937°		 ← 11.150 km →
123.583 km²		 N 73.428424°
E160.312500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.94482421875 y=0.19287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.94482421875 × 210)
    floor (0.94482421875 × 1024)
    floor (967.5)     		tx = 967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.19287109375 × 210)
    floor (0.19287109375 × 1024)
    floor (197.5)     		ty = 197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 967 / 197 ti = "10/967/197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/967/197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 967 ÷ 210
    967 ÷ 1024     		x = 0.9443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 197 ÷ 210
    197 ÷ 1024     		y = 0.1923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9443359375 × 2 - 1) × π
    0.888671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.79184503
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1923828125 × 2 - 1) × π
    0.615234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.93281579268066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.79184503} λ = 2.79184503}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93281579268066))-π/2
    2×atan(6.90893701213633)-π/2
    2×1.42705449578023-π/2
    2.85410899156047-1.57079632675     		φ = 1.28331266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.79184503} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 159.960937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28331266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.528399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 967 KachelY 197 2.79184503 1.28331266 159.960937 73.528399
    Oben rechts KachelX + 1 968 KachelY 197 2.79798096 1.28331266 160.312500 73.528399
    Unten links KachelX 967 KachelY + 1 198 2.79184503 1.28156776 159.960937 73.428424
    Unten rechts KachelX + 1 968 KachelY + 1 198 2.79798096 1.28156776 160.312500 73.428424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28331266-1.28156776) × R
    0.00174490000000005 × 6371000     		dl = 11116.7579000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28331266-1.28156776) × R
    0.00174490000000005 × 6371000     		dr = 11116.7579000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.79184503-2.79798096) × cos(1.28331266) × R
    0.00613592999999968 × 0.283540061452293 × 6371000     		do = 11084.1509261993m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.79184503-2.79798096) × cos(1.28156776) × R
    0.00613592999999968 × 0.285212918947603 × 6371000     		du = 11149.5462881847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28331266)-sin(1.28156776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.283540061452293-0.285212918947603)×R²
    abs(2.79798096-2.79184503)×0.00167285749531004×R²
    0.00613592999999968×0.00167285749531004×6371000²
    0.00613592999999968×0.00167285749531004×40589641000000     		ar = 123583345.933036m²