Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 967 / 1172
↖ ↑ ↗
← S 25.165173°
W 10.019531°		 ← 17.691 km → S 25.165173°
W  9.843750°		 →
↑
17.679 km
↓
↑
17.679 km
↓
S 25.324167°
W 10.019531°		 ← 17.668 km →
312.556 km²		 S 25.324167°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1172 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.472412109375 y=0.572509765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.472412109375 × 211)
    floor (0.472412109375 × 2048)
    floor (967.5)     		tx = 967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.572509765625 × 211)
    floor (0.572509765625 × 2048)
    floor (1172.5)     		ty = 1172
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 967 / 1172 ti = "11/967/1172"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/967/1172.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 967 ÷ 211
    967 ÷ 2048     		x = 0.47216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1172 ÷ 211
    1172 ÷ 2048     		y = 0.572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47216796875 × 2 - 1) × π
    -0.0556640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17487381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.572265625 × 2 - 1) × π
    -0.14453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.454058313201172
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17487381} λ = -0.17487381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.454058313201172))-π/2
    2×atan(0.6350457006185)-π/2
    2×0.565790597344132-π/2
    1.13158119468826-1.57079632675     		φ = -0.43921513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17487381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.43921513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -25.165173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 967 KachelY 1172 -0.17487381 -0.43921513 -10.019531 -25.165173
    Oben rechts KachelX + 1 968 KachelY 1172 -0.17180585 -0.43921513 -9.843750 -25.165173
    Unten links KachelX 967 KachelY + 1 1173 -0.17487381 -0.44199009 -10.019531 -25.324167
    Unten rechts KachelX + 1 968 KachelY + 1 1173 -0.17180585 -0.44199009 -9.843750 -25.324167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.43921513--0.44199009) × R
    0.00277495999999999 × 6371000     		dl = 17679.27016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.43921513--0.44199009) × R
    0.00277495999999999 × 6371000     		dr = 17679.27016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17487381--0.17180585) × cos(-0.43921513) × R
    0.00306795999999998 × 0.905085691620626 × 6371000     		do = 17690.7806359167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17487381--0.17180585) × cos(-0.44199009) × R
    0.00306795999999998 × 0.903902214294465 × 6371000     		du = 17667.6484198641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.43921513)-sin(-0.44199009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.905085691620626-0.903902214294465)×R²
    abs(-0.17180585--0.17487381)×0.0011834773261612×R²
    0.00306795999999998×0.0011834773261612×6371000²
    0.00306795999999998×0.0011834773261612×40589641000000     		ar = 312555810.422335m²