Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96676 / 101889
↖ ↑ ↗
← S 70.141297°
E 85.528564°		 ← 103.75 m → S 70.141297°
E 85.531311°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
S 70.142230°
E 85.528564°		 ← 103.75 m →
10 761 m²		 S 70.142230°
E 85.531311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737583160400391 y=0.777355194091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737583160400391 × 217)
    floor (0.737583160400391 × 131072)
    floor (96676.5)     		tx = 96676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777355194091797 × 217)
    floor (0.777355194091797 × 131072)
    floor (101889.5)     		ty = 101889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96676 / 101889 ti = "17/96676/101889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96676/101889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96676 ÷ 217
    96676 ÷ 131072     		x = 0.737579345703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101889 ÷ 217
    101889 ÷ 131072     		y = 0.777351379394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737579345703125 × 2 - 1) × π
    0.47515869140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.49275505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777351379394531 × 2 - 1) × π
    -0.554702758789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7426501118879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49275505} λ = 1.49275505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7426501118879))-π/2
    2×atan(0.175055867720699)-π/2
    2×0.17329987355065-π/2
    0.3465997471013-1.57079632675     		φ = -1.22419658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49275505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.528564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22419658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.141297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96676 KachelY 101889 1.49275505 -1.22419658 85.528564 -70.141297
    Oben rechts KachelX + 1 96677 KachelY 101889 1.49280299 -1.22419658 85.531311 -70.141297
    Unten links KachelX 96676 KachelY + 1 101890 1.49275505 -1.22421286 85.528564 -70.142230
    Unten rechts KachelX + 1 96677 KachelY + 1 101890 1.49280299 -1.22421286 85.531311 -70.142230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22419658--1.22421286) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dl = 103.719879999163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22419658--1.22421286) × R
    1.62799999998686e-05 × 6371000     		dr = 103.719879999163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49275505-1.49280299) × cos(-1.22419658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339701726290066 × 6371000     		do = 103.753651131353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49275505-1.49280299) × cos(-1.22421286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339686414364235 × 6371000     		du = 103.748974475075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22419658)-sin(-1.22421286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339701726290066-0.339686414364235)×R²
    abs(1.49280299-1.49275505)×1.53119258311518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53119258311518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53119258311518e-05×40589641000000     		ar = 10761.0737140001m²