Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9667 / 7363
↖ ↑ ↗
← N 17.916023°
E 32.409668°		 ← 2 324.74 m → N 17.916023°
E 32.431641°		 →
↑
2 324.97 m
↓
↑
2 324.97 m
↓
N 17.895114°
E 32.409668°		 ← 2 325.01 m →
5 405 266 m²		 N 17.895114°
E 32.431641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.590057373046875 y=0.449432373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.590057373046875 × 214)
    floor (0.590057373046875 × 16384)
    floor (9667.5)     		tx = 9667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449432373046875 × 214)
    floor (0.449432373046875 × 16384)
    floor (7363.5)     		ty = 7363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9667 / 7363 ti = "14/9667/7363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9667/7363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9667 ÷ 214
    9667 ÷ 16384     		x = 0.59002685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7363 ÷ 214
    7363 ÷ 16384     		y = 0.44940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59002685546875 × 2 - 1) × π
    0.1800537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.56565542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44940185546875 × 2 - 1) × π
    0.1011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.317917518280212
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56565542} λ = 0.56565542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.317917518280212))-π/2
    2×atan(1.37426290498487)-π/2
    2×0.941744955915486-π/2
    1.88348991183097-1.57079632675     		φ = 0.31269359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56565542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.409668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31269359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.916023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9667 KachelY 7363 0.56565542 0.31269359 32.409668 17.916023
    Oben rechts KachelX + 1 9668 KachelY 7363 0.56603891 0.31269359 32.431641 17.916023
    Unten links KachelX 9667 KachelY + 1 7364 0.56565542 0.31232866 32.409668 17.895114
    Unten rechts KachelX + 1 9668 KachelY + 1 7364 0.56603891 0.31232866 32.431641 17.895114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31269359-0.31232866) × R
    0.000364930000000041 × 6371000     		dl = 2324.96903000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31269359-0.31232866) × R
    0.000364930000000041 × 6371000     		dr = 2324.96903000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56565542-0.56603891) × cos(0.31269359) × R
    0.000383489999999931 × 0.951508413195508 × 6371000     		do = 2324.73942792828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56565542-0.56603891) × cos(0.31232866) × R
    0.000383489999999931 × 0.951620610595224 × 6371000     		du = 2325.01355027466m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31269359)-sin(0.31232866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951508413195508-0.951620610595224)×R²
    abs(0.56603891-0.56565542)×0.000112197399715908×R²
    0.000383489999999931×0.000112197399715908×6371000²
    0.000383489999999931×0.000112197399715908×40589641000000     		ar = 5405265.89572327m²