Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96668 / 101793
↖ ↑ ↗
← S 70.051533°
E 85.506592°		 ← 104.20 m → S 70.051533°
E 85.509339°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.052471°
E 85.506592°		 ← 104.20 m →
10 861 m²		 S 70.052471°
E 85.509339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101793 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737522125244141 y=0.776622772216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737522125244141 × 217)
    floor (0.737522125244141 × 131072)
    floor (96668.5)     		tx = 96668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776622772216797 × 217)
    floor (0.776622772216797 × 131072)
    floor (101793.5)     		ty = 101793
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96668 / 101793 ti = "17/96668/101793"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96668/101793.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96668 ÷ 217
    96668 ÷ 131072     		x = 0.737518310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101793 ÷ 217
    101793 ÷ 131072     		y = 0.776618957519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737518310546875 × 2 - 1) × π
    0.47503662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.49237156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776618957519531 × 2 - 1) × π
    -0.553237915039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73804816952438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49237156} λ = 1.49237156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73804816952438))-π/2
    2×atan(0.175863321236606)-π/2
    2×0.174083211143661-π/2
    0.348166422287322-1.57079632675     		φ = -1.22262990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49237156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.506592°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22262990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.051533°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96668 KachelY 101793 1.49237156 -1.22262990 85.506592 -70.051533
    Oben rechts KachelX + 1 96669 KachelY 101793 1.49241950 -1.22262990 85.509339 -70.051533
    Unten links KachelX 96668 KachelY + 1 101794 1.49237156 -1.22264626 85.506592 -70.052471
    Unten rechts KachelX + 1 96669 KachelY + 1 101794 1.49241950 -1.22264626 85.509339 -70.052471
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22262990--1.22264626) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22262990--1.22264626) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49237156-1.49241950) × cos(-1.22262990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341174823375231 × 6371000     		do = 104.203572898681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49237156-1.49241950) × cos(-1.22264626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341159444931838 × 6371000     		du = 104.198875926227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22262990)-sin(-1.22264626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341174823375231-0.341159444931838)×R²
    abs(1.49241950-1.49237156)×1.53784433935544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53784433935544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53784433935544e-05×40589641000000     		ar = 10860.8477721499m²