Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9666 / 7490
↖ ↑ ↗
← N 15.241790°
E 32.387695°		 ← 2 357.34 m → N 15.241790°
E 32.409668°		 →
↑
2 357.46 m
↓
↑
2 357.46 m
↓
N 15.220589°
E 32.387695°		 ← 2 357.57 m →
5 557 608 m²		 N 15.220589°
E 32.409668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589996337890625 y=0.457183837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589996337890625 × 214)
    floor (0.589996337890625 × 16384)
    floor (9666.5)     		tx = 9666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457183837890625 × 214)
    floor (0.457183837890625 × 16384)
    floor (7490.5)     		ty = 7490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9666 / 7490 ti = "14/9666/7490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9666/7490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9666 ÷ 214
    9666 ÷ 16384     		x = 0.5899658203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7490 ÷ 214
    7490 ÷ 16384     		y = 0.4571533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5899658203125 × 2 - 1) × π
    0.179931640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.56527192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4571533203125 × 2 - 1) × π
    0.085693359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.269213628266235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56527192} λ = 0.56527192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.269213628266235))-π/2
    2×atan(1.30893473663905)-π/2
    2×0.918407871835538-π/2
    1.83681574367108-1.57079632675     		φ = 0.26601942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56527192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.387695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26601942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.241790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9666 KachelY 7490 0.56527192 0.26601942 32.387695 15.241790
    Oben rechts KachelX + 1 9667 KachelY 7490 0.56565542 0.26601942 32.409668 15.241790
    Unten links KachelX 9666 KachelY + 1 7491 0.56527192 0.26564939 32.387695 15.220589
    Unten rechts KachelX + 1 9667 KachelY + 1 7491 0.56565542 0.26564939 32.409668 15.220589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26601942-0.26564939) × R
    0.000370030000000021 × 6371000     		dl = 2357.46113000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26601942-0.26564939) × R
    0.000370030000000021 × 6371000     		dr = 2357.46113000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56527192-0.56565542) × cos(0.26601942) × R
    0.000383499999999981 × 0.964825003911149 × 6371000     		do = 2357.33618831841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56527192-0.56565542) × cos(0.26564939) × R
    0.000383499999999981 × 0.964922216140337 × 6371000     		du = 2357.57370486792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26601942)-sin(0.26564939))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964825003911149-0.964922216140337)×R²
    abs(0.56565542-0.56527192)×9.72122291881261e-05×R²
    0.000383499999999981×9.72122291881261e-05×6371000²
    0.000383499999999981×9.72122291881261e-05×40589641000000     		ar = 5557608.46573322m²