Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9665 / 7362
↖ ↑ ↗
← N 17.936928°
E 32.365723°		 ← 2 324.47 m → N 17.936928°
E 32.387695°		 →
↑
2 324.59 m
↓
↑
2 324.59 m
↓
N 17.916023°
E 32.365723°		 ← 2 324.74 m →
5 403 740 m²		 N 17.916023°
E 32.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589935302734375 y=0.449371337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589935302734375 × 214)
    floor (0.589935302734375 × 16384)
    floor (9665.5)     		tx = 9665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449371337890625 × 214)
    floor (0.449371337890625 × 16384)
    floor (7362.5)     		ty = 7362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9665 / 7362 ti = "14/9665/7362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9665/7362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9665 ÷ 214
    9665 ÷ 16384     		x = 0.58990478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7362 ÷ 214
    7362 ÷ 16384     		y = 0.4493408203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58990478515625 × 2 - 1) × π
    0.1798095703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.56488843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4493408203125 × 2 - 1) × π
    0.101318359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.318301013477173
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56488843} λ = 0.56488843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.318301013477173))-π/2
    2×atan(1.37479002927665)-π/2
    2×0.94192739460337-π/2
    1.88385478920674-1.57079632675     		φ = 0.31305846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56488843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.365723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31305846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.936928°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9665 KachelY 7362 0.56488843 0.31305846 32.365723 17.936928
    Oben rechts KachelX + 1 9666 KachelY 7362 0.56527192 0.31305846 32.387695 17.936928
    Unten links KachelX 9665 KachelY + 1 7363 0.56488843 0.31269359 32.365723 17.916023
    Unten rechts KachelX + 1 9666 KachelY + 1 7363 0.56527192 0.31269359 32.387695 17.916023
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31305846-0.31269359) × R
    0.000364869999999962 × 6371000     		dl = 2324.58676999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31305846-0.31269359) × R
    0.000364869999999962 × 6371000     		dr = 2324.58676999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56488843-0.56527192) × cos(0.31305846) × R
    0.000383490000000042 × 0.951396107557898 × 6371000     		do = 2324.46504113414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56488843-0.56527192) × cos(0.31269359) × R
    0.000383490000000042 × 0.951508413195508 × 6371000     		du = 2324.73942792895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31305846)-sin(0.31269359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951396107557898-0.951508413195508)×R²
    abs(0.56527192-0.56488843)×0.000112305637610888×R²
    0.000383490000000042×0.000112305637610888×6371000²
    0.000383490000000042×0.000112305637610888×40589641000000     		ar = 5403739.65985397m²