Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96642 / 101768
↖ ↑ ↗
← S 70.028093°
E 85.435181°		 ← 104.32 m → S 70.028093°
E 85.437927°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
S 70.029032°
E 85.435181°		 ← 104.32 m →
10 886 m²		 S 70.029032°
E 85.437927°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737323760986328 y=0.776432037353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737323760986328 × 217)
    floor (0.737323760986328 × 131072)
    floor (96642.5)     		tx = 96642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776432037353516 × 217)
    floor (0.776432037353516 × 131072)
    floor (101768.5)     		ty = 101768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96642 / 101768 ti = "17/96642/101768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96642/101768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96642 ÷ 217
    96642 ÷ 131072     		x = 0.737319946289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101768 ÷ 217
    101768 ÷ 131072     		y = 0.77642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737319946289062 × 2 - 1) × π
    0.474639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49112520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.5528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73684974703387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49112520} λ = 1.49112520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73684974703387))-π/2
    2×atan(0.176074206135393)-π/2
    2×0.174287762119626-π/2
    0.348575524239252-1.57079632675     		φ = -1.22222080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49112520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.435181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22222080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.028093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96642 KachelY 101768 1.49112520 -1.22222080 85.435181 -70.028093
    Oben rechts KachelX + 1 96643 KachelY 101768 1.49117314 -1.22222080 85.437927 -70.028093
    Unten links KachelX 96642 KachelY + 1 101769 1.49112520 -1.22223718 85.435181 -70.029032
    Unten rechts KachelX + 1 96643 KachelY + 1 101769 1.49117314 -1.22223718 85.437927 -70.029032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22222080--1.22223718) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22222080--1.22223718) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49112520-1.49117314) × cos(-1.22222080) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341559348757916 × 6371000     		do = 104.321016848236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49112520-1.49117314) × cos(-1.22223718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341543953801882 × 6371000     		du = 104.316314832397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22222080)-sin(-1.22223718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341559348757916-0.341543953801882)×R²
    abs(1.49117314-1.49112520)×1.53949560332545e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53949560332545e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53949560332545e-05×40589641000000     		ar = 10886.380924986m²