Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9664 / 7365
↖ ↑ ↗
← N 69.881231°
W 73.828125°		 ← 420.20 m → N 69.881231°
W 73.817138°		 →
↑
420.23 m
↓
↑
420.23 m
↓
N 69.877452°
W 73.828125°		 ← 420.28 m →
176 599 m²		 N 69.877452°
W 73.817138°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.294937133789062 y=0.224777221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.294937133789062 × 215)
    floor (0.294937133789062 × 32768)
    floor (9664.5)     		tx = 9664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224777221679688 × 215)
    floor (0.224777221679688 × 32768)
    floor (7365.5)     		ty = 7365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9664 / 7365 ti = "15/9664/7365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9664/7365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9664 ÷ 215
    9664 ÷ 32768     		x = 0.294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7365 ÷ 215
    7365 ÷ 32768     		y = 0.224761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.294921875 × 2 - 1) × π
    -0.41015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.28854386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224761962890625 × 2 - 1) × π
    0.55047607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.72937159069315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.28854386} λ = -1.28854386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72937159069315))-π/2
    2×atan(5.63711038252446)-π/2
    2×1.39522695038853-π/2
    2.79045390077705-1.57079632675     		φ = 1.21965757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.28854386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21965757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.881231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9664 KachelY 7365 -1.28854386 1.21965757 -73.828125 69.881231
    Oben rechts KachelX + 1 9665 KachelY 7365 -1.28835211 1.21965757 -73.817138 69.881231
    Unten links KachelX 9664 KachelY + 1 7366 -1.28854386 1.21959161 -73.828125 69.877452
    Unten rechts KachelX + 1 9665 KachelY + 1 7366 -1.28835211 1.21959161 -73.817138 69.877452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21965757-1.21959161) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dl = 420.231160000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21965757-1.21959161) × R
    6.59600000001426e-05 × 6371000     		dr = 420.231160000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.28854386--1.28835211) × cos(1.21965757) × R
    0.000191750000000157 × 0.343967301954688 × 6371000     		do = 420.203956784793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.28854386--1.28835211) × cos(1.21959161) × R
    0.000191750000000157 × 0.344029236434484 × 6371000     		du = 420.27961837624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21965757)-sin(1.21959161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343967301954688-0.344029236434484)×R²
    abs(-1.28835211--1.28854386)×6.19344797960775e-05×R²
    0.000191750000000157×6.19344797960775e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.19344797960775e-05×40589641000000     		ar = 176598.693939659m²