Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9664 / 7360
↖ ↑ ↗
← N 17.978733°
E 32.343750°		 ← 2 323.98 m → N 17.978733°
E 32.365723°		 →
↑
2 324.08 m
↓
↑
2 324.08 m
↓
N 17.957832°
E 32.343750°		 ← 2 324.25 m →
5 401 419 m²		 N 17.957832°
E 32.365723°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589874267578125 y=0.449249267578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589874267578125 × 214)
    floor (0.589874267578125 × 16384)
    floor (9664.5)     		tx = 9664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.449249267578125 × 214)
    floor (0.449249267578125 × 16384)
    floor (7360.5)     		ty = 7360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9664 / 7360 ti = "14/9664/7360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9664/7360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9664 ÷ 214
    9664 ÷ 16384     		x = 0.58984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7360 ÷ 214
    7360 ÷ 16384     		y = 0.44921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58984375 × 2 - 1) × π
    0.1796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56450493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44921875 × 2 - 1) × π
    0.1015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.319068003871094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56450493} λ = 0.56450493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.319068003871094))-π/2
    2×atan(1.37584488450297)-π/2
    2×0.942292207320475-π/2
    1.88458441464095-1.57079632675     		φ = 0.31378809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56450493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31378809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.978733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9664 KachelY 7360 0.56450493 0.31378809 32.343750 17.978733
    Oben rechts KachelX + 1 9665 KachelY 7360 0.56488843 0.31378809 32.365723 17.978733
    Unten links KachelX 9664 KachelY + 1 7361 0.56450493 0.31342330 32.343750 17.957832
    Unten rechts KachelX + 1 9665 KachelY + 1 7361 0.56488843 0.31342330 32.365723 17.957832
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31378809-0.31342330) × R
    0.000364790000000004 × 6371000     		dl = 2324.07709000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31378809-0.31342330) × R
    0.000364790000000004 × 6371000     		dr = 2324.07709000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56450493-0.56488843) × cos(0.31378809) × R
    0.000383499999999981 × 0.951171150272265 × 6371000     		do = 2323.97602128038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56450493-0.56488843) × cos(0.31342330) × R
    0.000383499999999981 × 0.951283684510322 × 6371000     		du = 2324.25097376474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31378809)-sin(0.31342330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.951171150272265-0.951283684510322)×R²
    abs(0.56488843-0.56450493)×0.000112534238057571×R²
    0.000383499999999981×0.000112534238057571×6371000²
    0.000383499999999981×0.000112534238057571×40589641000000     		ar = 5401418.99405004m²