Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96636 / 101764
↖ ↑ ↗
← S 70.024341°
E 85.418701°		 ← 104.34 m → S 70.024341°
E 85.421448°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
S 70.025279°
E 85.418701°		 ← 104.34 m →
10 888 m²		 S 70.025279°
E 85.421448°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737277984619141 y=0.776401519775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737277984619141 × 217)
    floor (0.737277984619141 × 131072)
    floor (96636.5)     		tx = 96636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776401519775391 × 217)
    floor (0.776401519775391 × 131072)
    floor (101764.5)     		ty = 101764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96636 / 101764 ti = "17/96636/101764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96636/101764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96636 ÷ 217
    96636 ÷ 131072     		x = 0.737274169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101764 ÷ 217
    101764 ÷ 131072     		y = 0.776397705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737274169921875 × 2 - 1) × π
    0.47454833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.49083758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776397705078125 × 2 - 1) × π
    -0.55279541015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73665799943539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49083758} λ = 1.49083758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73665799943539))-π/2
    2×atan(0.176107971178653)-π/2
    2×0.17432051166271-π/2
    0.348641023325419-1.57079632675     		φ = -1.22215530
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49083758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.418701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22215530 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.024341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96636 KachelY 101764 1.49083758 -1.22215530 85.418701 -70.024341
    Oben rechts KachelX + 1 96637 KachelY 101764 1.49088552 -1.22215530 85.421448 -70.024341
    Unten links KachelX 96636 KachelY + 1 101765 1.49083758 -1.22217168 85.418701 -70.025279
    Unten rechts KachelX + 1 96637 KachelY + 1 101765 1.49088552 -1.22217168 85.421448 -70.025279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22215530--1.22217168) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dl = 104.356979999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22215530--1.22217168) × R
    1.6379999999927e-05 × 6371000     		dr = 104.356979999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49083758-1.49088552) × cos(-1.22215530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341620908868832 × 6371000     		do = 104.339818890667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49083758-1.49088552) × cos(-1.22217168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341605514279279 × 6371000     		du = 104.335116986761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22215530)-sin(-1.22217168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341620908868832-0.341605514279279)×R²
    abs(1.49088552-1.49083758)×1.53945895529084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53945895529084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53945895529084e-05×40589641000000     		ar = 10888.343055195m²