Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96625 / 101777
↖ ↑ ↗
← S 70.036535°
E 85.388489°		 ← 104.28 m → S 70.036535°
E 85.391235°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
S 70.037473°
E 85.388489°		 ← 104.27 m →
10 875 m²		 S 70.037473°
E 85.391235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96625 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737194061279297 y=0.776500701904297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737194061279297 × 217)
    floor (0.737194061279297 × 131072)
    floor (96625.5)     		tx = 96625
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776500701904297 × 217)
    floor (0.776500701904297 × 131072)
    floor (101777.5)     		ty = 101777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96625 / 101777 ti = "17/96625/101777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96625/101777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96625 ÷ 217
    96625 ÷ 131072     		x = 0.737190246582031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101777 ÷ 217
    101777 ÷ 131072     		y = 0.776496887207031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737190246582031 × 2 - 1) × π
    0.474380493164062 × 3.1415926535     		Λ = 1.49031027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776496887207031 × 2 - 1) × π
    -0.552993774414062 × 3.1415926535     		Φ = -1.73728117913045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49031027} λ = 1.49031027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73728117913045))-π/2
    2×atan(0.175998258455798)-π/2
    2×0.174214097223486-π/2
    0.348428194446972-1.57079632675     		φ = -1.22236813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49031027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.388489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22236813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.036535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96625 KachelY 101777 1.49031027 -1.22236813 85.388489 -70.036535
    Oben rechts KachelX + 1 96626 KachelY 101777 1.49035821 -1.22236813 85.391235 -70.036535
    Unten links KachelX 96625 KachelY + 1 101778 1.49031027 -1.22238450 85.388489 -70.037473
    Unten rechts KachelX + 1 96626 KachelY + 1 101778 1.49035821 -1.22238450 85.391235 -70.037473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22236813--1.22238450) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dl = 104.293269999922m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22236813--1.22238450) × R
    1.63699999999878e-05 × 6371000     		dr = 104.293269999922m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49031027-1.49035821) × cos(-1.22236813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341420875446952 × 6371000     		do = 104.278723534765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49031027-1.49035821) × cos(-1.22238450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341405489065992 × 6371000     		du = 104.274024137974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22236813)-sin(-1.22238450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341420875446952-0.341405489065992)×R²
    abs(1.49035821-1.49031027)×1.53863809599364e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53863809599364e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53863809599364e-05×40589641000000     		ar = 10875.3240113629m²