Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96603 / 101787
↖ ↑ ↗
← S 70.045910°
E 85.328064°		 ← 104.23 m → S 70.045910°
E 85.330811°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
S 70.046848°
E 85.328064°		 ← 104.23 m →
10 864 m²		 S 70.046848°
E 85.330811°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737026214599609 y=0.776576995849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737026214599609 × 217)
    floor (0.737026214599609 × 131072)
    floor (96603.5)     		tx = 96603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776576995849609 × 217)
    floor (0.776576995849609 × 131072)
    floor (101787.5)     		ty = 101787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96603 / 101787 ti = "17/96603/101787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96603/101787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96603 ÷ 217
    96603 ÷ 131072     		x = 0.737022399902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101787 ÷ 217
    101787 ÷ 131072     		y = 0.776573181152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737022399902344 × 2 - 1) × π
    0.474044799804688 × 3.1415926535     		Λ = 1.48925566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776573181152344 × 2 - 1) × π
    -0.553146362304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73776054812666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48925566} λ = 1.48925566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73776054812666))-π/2
    2×atan(0.175913910565806)-π/2
    2×0.174132282366005-π/2
    0.34826456473201-1.57079632675     		φ = -1.22253176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48925566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.328064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22253176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.045910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96603 KachelY 101787 1.48925566 -1.22253176 85.328064 -70.045910
    Oben rechts KachelX + 1 96604 KachelY 101787 1.48930360 -1.22253176 85.330811 -70.045910
    Unten links KachelX 96603 KachelY + 1 101788 1.48925566 -1.22254812 85.328064 -70.046848
    Unten rechts KachelX + 1 96604 KachelY + 1 101788 1.48930360 -1.22254812 85.330811 -70.046848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22253176--1.22254812) × R
    1.63599999998265e-05 × 6371000     		dl = 104.229559998895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22253176--1.22254812) × R
    1.63599999998265e-05 × 6371000     		dr = 104.229559998895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48925566-1.48930360) × cos(-1.22253176) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341267073318499 × 6371000     		do = 104.231748405869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48925566-1.48930360) × cos(-1.22254812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341251695422948 × 6371000     		du = 104.22705160074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22253176)-sin(-1.22254812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341267073318499-0.341251695422948)×R²
    abs(1.48930360-1.48925566)×1.53778955514494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53778955514494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53778955514494e-05×40589641000000     		ar = 10863.7845015455m²