Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 966 / 637
↖ ↑ ↗
← N 56.072036°
W 10.195312°		 ← 10.910 km → N 56.072036°
W 10.019531°		 →
↑
10.924 km
↓
↑
10.924 km
↓
N 55.973798°
W 10.195312°		 ← 10.937 km →
119.323 km²		 N 55.973798°
W 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.471923828125 y=0.311279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.471923828125 × 211)
    floor (0.471923828125 × 2048)
    floor (966.5)     		tx = 966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.311279296875 × 211)
    floor (0.311279296875 × 2048)
    floor (637.5)     		ty = 637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 966 / 637 ti = "11/966/637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/966/637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 966 ÷ 211
    966 ÷ 2048     		x = 0.4716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 637 ÷ 211
    637 ÷ 2048     		y = 0.31103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4716796875 × 2 - 1) × π
    -0.056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.17794177
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31103515625 × 2 - 1) × π
    0.3779296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.18730112978955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.17794177} λ = -0.17794177}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.18730112978955))-π/2
    2×atan(3.27822176245679)-π/2
    2×1.27471898202697-π/2
    2.54943796405393-1.57079632675     		φ = 0.97864164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.17794177} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.195312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.97864164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.072036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 966 KachelY 637 -0.17794177 0.97864164 -10.195312 56.072036
    Oben rechts KachelX + 1 967 KachelY 637 -0.17487381 0.97864164 -10.019531 56.072036
    Unten links KachelX 966 KachelY + 1 638 -0.17794177 0.97692707 -10.195312 55.973798
    Unten rechts KachelX + 1 967 KachelY + 1 638 -0.17487381 0.97692707 -10.019531 55.973798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.97864164-0.97692707) × R
    0.00171456999999997 × 6371000     		dl = 10923.5254699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.97864164-0.97692707) × R
    0.00171456999999997 × 6371000     		dr = 10923.5254699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.17794177--0.17487381) × cos(0.97864164) × R
    0.00306796000000001 × 0.558150146934739 × 6371000     		do = 10909.5877912365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.17794177--0.17487381) × cos(0.97692707) × R
    0.00306796000000001 × 0.559571973082755 × 6371000     		du = 10937.3787669638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.97864164)-sin(0.97692707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.558150146934739-0.559571973082755)×R²
    abs(-0.17487381--0.17794177)×0.00142182614801634×R²
    0.00306796000000001×0.00142182614801634×6371000²
    0.00306796000000001×0.00142182614801634×40589641000000     		ar = 119322977.052014m²