Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96585 / 101863
↖ ↑ ↗
← S 70.117025°
E 85.278626°		 ← 103.85 m → S 70.117025°
E 85.281372°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.117958°
E 85.278626°		 ← 103.85 m →
10 785 m²		 S 70.117958°
E 85.281372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96585 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101863 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736888885498047 y=0.777156829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736888885498047 × 217)
    floor (0.736888885498047 × 131072)
    floor (96585.5)     		tx = 96585
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777156829833984 × 217)
    floor (0.777156829833984 × 131072)
    floor (101863.5)     		ty = 101863
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96585 / 101863 ti = "17/96585/101863"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96585/101863.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96585 ÷ 217
    96585 ÷ 131072     		x = 0.736885070800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101863 ÷ 217
    101863 ÷ 131072     		y = 0.777153015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736885070800781 × 2 - 1) × π
    0.473770141601562 × 3.1415926535     		Λ = 1.48839280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777153015136719 × 2 - 1) × π
    -0.554306030273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74140375249778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48839280} λ = 1.48839280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74140375249778))-π/2
    2×atan(0.175274186268654)-π/2
    2×0.173511692890251-π/2
    0.347023385780502-1.57079632675     		φ = -1.22377294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48839280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.278626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22377294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.117025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96585 KachelY 101863 1.48839280 -1.22377294 85.278626 -70.117025
    Oben rechts KachelX + 1 96586 KachelY 101863 1.48844073 -1.22377294 85.281372 -70.117025
    Unten links KachelX 96585 KachelY + 1 101864 1.48839280 -1.22378924 85.278626 -70.117958
    Unten rechts KachelX + 1 96586 KachelY + 1 101864 1.48844073 -1.22378924 85.281372 -70.117958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22377294--1.22378924) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22377294--1.22378924) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48839280-1.48844073) × cos(-1.22377294) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340100143288018 × 6371000     		do = 103.853670157783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48839280-1.48844073) × cos(-1.22378924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.340084814898487 × 6371000     		du = 103.84898944964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22377294)-sin(-1.22378924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340100143288018-0.340084814898487)×R²
    abs(1.48844073-1.48839280)×1.53283895304446e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53283895304446e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53283895304446e-05×40589641000000     		ar = 10784.6802017458m²