Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96584 / 101864
↖ ↑ ↗
← S 70.117958°
E 85.275879°		 ← 103.87 m → S 70.117958°
E 85.278626°		 →
↑
103.91 m
↓
↑
103.91 m
↓
S 70.118893°
E 85.275879°		 ← 103.87 m →
10 793 m²		 S 70.118893°
E 85.278626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736881256103516 y=0.777164459228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736881256103516 × 217)
    floor (0.736881256103516 × 131072)
    floor (96584.5)     		tx = 96584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777164459228516 × 217)
    floor (0.777164459228516 × 131072)
    floor (101864.5)     		ty = 101864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96584 / 101864 ti = "17/96584/101864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96584/101864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96584 ÷ 217
    96584 ÷ 131072     		x = 0.73687744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101864 ÷ 217
    101864 ÷ 131072     		y = 0.77716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73687744140625 × 2 - 1) × π
    0.4737548828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48834486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77716064453125 × 2 - 1) × π
    -0.5543212890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7414516893974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48834486} λ = 1.48834486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7414516893974))-π/2
    2×atan(0.175265784368963)-π/2
    2×0.173503541400793-π/2
    0.347007082801585-1.57079632675     		φ = -1.22378924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48834486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.275879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22378924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.117958°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96584 KachelY 101864 1.48834486 -1.22378924 85.275879 -70.117958
    Oben rechts KachelX + 1 96585 KachelY 101864 1.48839280 -1.22378924 85.278626 -70.117958
    Unten links KachelX 96584 KachelY + 1 101865 1.48834486 -1.22380555 85.275879 -70.118893
    Unten rechts KachelX + 1 96585 KachelY + 1 101865 1.48839280 -1.22380555 85.278626 -70.118893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22378924--1.22380555) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dl = 103.911010000831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22378924--1.22380555) × R
    1.63100000001304e-05 × 6371000     		dr = 103.911010000831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48834486-1.48839280) × cos(-1.22378924) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340084814898487 × 6371000     		do = 103.870656253065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48834486-1.48839280) × cos(-1.22380555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340069477014596 × 6371000     		du = 103.865971668528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22378924)-sin(-1.22380555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340084814898487-0.340069477014596)×R²
    abs(1.48839280-1.48834486)×1.5337883890798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5337883890798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5337883890798e-05×40589641000000     		ar = 10793.0614109513m²