Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96583 / 101862
↖ ↑ ↗
← S 70.116091°
E 85.273132°		 ← 103.88 m → S 70.116091°
E 85.275879°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.117025°
E 85.273132°		 ← 103.88 m →
10 787 m²		 S 70.117025°
E 85.275879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96583 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101862 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736873626708984 y=0.777149200439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736873626708984 × 217)
    floor (0.736873626708984 × 131072)
    floor (96583.5)     		tx = 96583
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777149200439453 × 217)
    floor (0.777149200439453 × 131072)
    floor (101862.5)     		ty = 101862
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96583 / 101862 ti = "17/96583/101862"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96583/101862.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96583 ÷ 217
    96583 ÷ 131072     		x = 0.736869812011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101862 ÷ 217
    101862 ÷ 131072     		y = 0.777145385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736869812011719 × 2 - 1) × π
    0.473739624023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.48829692
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777145385742188 × 2 - 1) × π
    -0.554290771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74135581559816
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48829692} λ = 1.48829692}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74135581559816))-π/2
    2×atan(0.175282588571115)-π/2
    2×0.173519844747181-π/2
    0.347039689494362-1.57079632675     		φ = -1.22375664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48829692} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.273132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22375664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.116091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96583 KachelY 101862 1.48829692 -1.22375664 85.273132 -70.116091
    Oben rechts KachelX + 1 96584 KachelY 101862 1.48834486 -1.22375664 85.275879 -70.116091
    Unten links KachelX 96583 KachelY + 1 101863 1.48829692 -1.22377294 85.273132 -70.117025
    Unten rechts KachelX + 1 96584 KachelY + 1 101863 1.48834486 -1.22377294 85.275879 -70.117025
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22375664--1.22377294) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22375664--1.22377294) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48829692-1.48834486) × cos(-1.22375664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340115471587187 × 6371000     		do = 103.880019594897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48829692-1.48834486) × cos(-1.22377294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340100143288018 × 6371000     		du = 103.875337937781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22375664)-sin(-1.22377294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340115471587187-0.340100143288018)×R²
    abs(1.48834486-1.48829692)×1.53282991691706e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53282991691706e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53282991691706e-05×40589641000000     		ar = 10787.4164704018m²