Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96568 / 101866
↖ ↑ ↗
← S 70.119827°
E 85.231934°		 ← 103.86 m → S 70.119827°
E 85.234680°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.120761°
E 85.231934°		 ← 103.86 m →
10 785 m²		 S 70.120761°
E 85.234680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736759185791016 y=0.777179718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736759185791016 × 217)
    floor (0.736759185791016 × 131072)
    floor (96568.5)     		tx = 96568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777179718017578 × 217)
    floor (0.777179718017578 × 131072)
    floor (101866.5)     		ty = 101866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96568 / 101866 ti = "17/96568/101866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96568/101866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96568 ÷ 217
    96568 ÷ 131072     		x = 0.73675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101866 ÷ 217
    101866 ÷ 131072     		y = 0.777175903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73675537109375 × 2 - 1) × π
    0.4735107421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.48757787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777175903320312 × 2 - 1) × π
    -0.554351806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74154756319664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48757787} λ = 1.48757787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74154756319664))-π/2
    2×atan(0.175248981777815)-π/2
    2×0.173487239524235-π/2
    0.346974479048469-1.57079632675     		φ = -1.22382185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48757787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.231934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22382185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.119827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96568 KachelY 101866 1.48757787 -1.22382185 85.231934 -70.119827
    Oben rechts KachelX + 1 96569 KachelY 101866 1.48762581 -1.22382185 85.234680 -70.119827
    Unten links KachelX 96568 KachelY + 1 101867 1.48757787 -1.22383815 85.231934 -70.120761
    Unten rechts KachelX + 1 96569 KachelY + 1 101867 1.48762581 -1.22383815 85.234680 -70.120761
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22382185--1.22383815) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22382185--1.22383815) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48757787-1.48762581) × cos(-1.22382185) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3400541484443 × 6371000     		do = 103.861289928602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48757787-1.48762581) × cos(-1.22383815) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.340038819783655 × 6371000     		du = 103.856608161081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22382185)-sin(-1.22383815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3400541484443-0.340038819783655)×R²
    abs(1.48762581-1.48757787)×1.53286606450198e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53286606450198e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53286606450198e-05×40589641000000     		ar = 10785.4714393375m²