Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9655 / 7389
↖ ↑ ↗
← N 17.371610°
E 32.145996°		 ← 2 331.84 m → N 17.371610°
E 32.167969°		 →
↑
2 331.91 m
↓
↑
2 331.91 m
↓
N 17.350639°
E 32.145996°		 ← 2 332.10 m →
5 437 952 m²		 N 17.350639°
E 32.167969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589324951171875 y=0.451019287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589324951171875 × 214)
    floor (0.589324951171875 × 16384)
    floor (9655.5)     		tx = 9655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.451019287109375 × 214)
    floor (0.451019287109375 × 16384)
    floor (7389.5)     		ty = 7389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9655 / 7389 ti = "14/9655/7389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9655/7389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9655 ÷ 214
    9655 ÷ 16384     		x = 0.58929443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7389 ÷ 214
    7389 ÷ 16384     		y = 0.45098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58929443359375 × 2 - 1) × π
    0.1785888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.56105347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45098876953125 × 2 - 1) × π
    0.0980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.307946643159241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.56105347} λ = 0.56105347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.307946643159241))-π/2
    2×atan(1.36062838816805)-π/2
    2×0.936994059039788-π/2
    1.87398811807958-1.57079632675     		φ = 0.30319179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.56105347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.145996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30319179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.371610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9655 KachelY 7389 0.56105347 0.30319179 32.145996 17.371610
    Oben rechts KachelX + 1 9656 KachelY 7389 0.56143697 0.30319179 32.167969 17.371610
    Unten links KachelX 9655 KachelY + 1 7390 0.56105347 0.30282577 32.145996 17.350639
    Unten rechts KachelX + 1 9656 KachelY + 1 7390 0.56143697 0.30282577 32.167969 17.350639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30319179-0.30282577) × R
    0.000366020000000022 × 6371000     		dl = 2331.91342000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30319179-0.30282577) × R
    0.000366020000000022 × 6371000     		dr = 2331.91342000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.56105347-0.56143697) × cos(0.30319179) × R
    0.000383499999999981 × 0.95438838603444 × 6371000     		do = 2331.83662424753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.56105347-0.56143697) × cos(0.30282577) × R
    0.000383499999999981 × 0.954497603935591 × 6371000     		du = 2332.10347399723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30319179)-sin(0.30282577))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95438838603444-0.954497603935591)×R²
    abs(0.56143697-0.56105347)×0.000109217901151593×R²
    0.000383499999999981×0.000109217901151593×6371000²
    0.000383499999999981×0.000109217901151593×40589641000000     		ar = 5437952.31329735m²