Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96528 / 101872
↖ ↑ ↗
← S 70.125430°
E 85.122070°		 ← 103.83 m → S 70.125430°
E 85.124817°		 →
↑
103.85 m
↓
↑
103.85 m
↓
S 70.126364°
E 85.122070°		 ← 103.83 m →
10 783 m²		 S 70.126364°
E 85.124817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736454010009766 y=0.777225494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736454010009766 × 217)
    floor (0.736454010009766 × 131072)
    floor (96528.5)     		tx = 96528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777225494384766 × 217)
    floor (0.777225494384766 × 131072)
    floor (101872.5)     		ty = 101872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96528 / 101872 ti = "17/96528/101872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96528/101872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96528 ÷ 217
    96528 ÷ 131072     		x = 0.7364501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101872 ÷ 217
    101872 ÷ 131072     		y = 0.7772216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7364501953125 × 2 - 1) × π
    0.472900390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48566039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7772216796875 × 2 - 1) × π
    -0.554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74183518459436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48566039} λ = 1.48566039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74183518459436))-π/2
    2×atan(0.175198583668862)-π/2
    2×0.173438342712393-π/2
    0.346876685424787-1.57079632675     		φ = -1.22391964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48566039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.122070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22391964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.125430°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96528 KachelY 101872 1.48566039 -1.22391964 85.122070 -70.125430
    Oben rechts KachelX + 1 96529 KachelY 101872 1.48570833 -1.22391964 85.124817 -70.125430
    Unten links KachelX 96528 KachelY + 1 101873 1.48566039 -1.22393594 85.122070 -70.126364
    Unten rechts KachelX + 1 96529 KachelY + 1 101873 1.48570833 -1.22393594 85.124817 -70.126364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22391964--1.22393594) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dl = 103.847299999803m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22391964--1.22393594) × R
    1.62999999999691e-05 × 6371000     		dr = 103.847299999803m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48566039-1.48570833) × cos(-1.22391964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339962184529729 × 6371000     		do = 103.833201781941m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48566039-1.48570833) × cos(-1.22393594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339946855327131 × 6371000     		du = 103.828519848894m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22391964)-sin(-1.22393594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339962184529729-0.339946855327131)×R²
    abs(1.48570833-1.48566039)×1.53292025980023e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53292025980023e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53292025980023e-05×40589641000000     		ar = 10782.5545527271m²