Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 9652 / 8692
↖ ↑ ↗
← N 64.225493°
W 73.959961°		 ← 531.18 m → N 64.225493°
W 73.948975°		 →
↑
531.28 m
↓
↑
531.28 m
↓
N 64.220715°
W 73.959961°		 ← 531.27 m →
282 228 m²		 N 64.220715°
W 73.948975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.294570922851562 y=0.265274047851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.294570922851562 × 215)
    floor (0.294570922851562 × 32768)
    floor (9652.5)     		tx = 9652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265274047851562 × 215)
    floor (0.265274047851562 × 32768)
    floor (8692.5)     		ty = 8692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 9652 / 8692 ti = "15/9652/8692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/9652/8692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9652 ÷ 215
    9652 ÷ 32768     		x = 0.2945556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8692 ÷ 215
    8692 ÷ 32768     		y = 0.2652587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2945556640625 × 2 - 1) × π
    -0.410888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.29084483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2652587890625 × 2 - 1) × π
    0.469482421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.47492252750989
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.29084483} λ = -1.29084483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.47492252750989))-π/2
    2×atan(4.37069715102117)-π/2
    2×1.34587131822154-π/2
    2.69174263644308-1.57079632675     		φ = 1.12094631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.29084483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -73.959961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12094631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.225493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9652 KachelY 8692 -1.29084483 1.12094631 -73.959961 64.225493
    Oben rechts KachelX + 1 9653 KachelY 8692 -1.29065309 1.12094631 -73.948975 64.225493
    Unten links KachelX 9652 KachelY + 1 8693 -1.29084483 1.12086292 -73.959961 64.220715
    Unten rechts KachelX + 1 9653 KachelY + 1 8693 -1.29065309 1.12086292 -73.948975 64.220715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12094631-1.12086292) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dl = 531.277689999398m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12094631-1.12086292) × R
    8.33899999999055e-05 × 6371000     		dr = 531.277689999398m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.29084483--1.29065309) × cos(1.12094631) × R
    0.000191739999999996 × 0.434830477277033 × 6371000     		do = 531.178275088138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.29084483--1.29065309) × cos(1.12086292) × R
    0.000191739999999996 × 0.434905569488242 × 6371000     		du = 531.270005896595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12094631)-sin(1.12086292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434830477277033-0.434905569488242)×R²
    abs(-1.29065309--1.29084483)×7.50922112085495e-05×R²
    0.000191739999999996×7.50922112085495e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.50922112085495e-05×40589641000000     		ar = 282227.534396084m²