Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 9650 / 7407
↖ ↑ ↗
← N 16.993755°
E 32.036133°		 ← 2 336.54 m → N 16.993755°
E 32.058105°		 →
↑
2 336.69 m
↓
↑
2 336.69 m
↓
N 16.972741°
E 32.036133°		 ← 2 336.80 m →
5 460 070 m²		 N 16.972741°
E 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589019775390625 y=0.452117919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589019775390625 × 214)
    floor (0.589019775390625 × 16384)
    floor (9650.5)     		tx = 9650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.452117919921875 × 214)
    floor (0.452117919921875 × 16384)
    floor (7407.5)     		ty = 7407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9650 / 7407 ti = "14/9650/7407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9650/7407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9650 ÷ 214
    9650 ÷ 16384     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7407 ÷ 214
    7407 ÷ 16384     		y = 0.45208740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45208740234375 × 2 - 1) × π
    0.0958251953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.301043729613953
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.301043729613953))-π/2
    2×atan(1.35126843069285)-π/2
    2×0.933696655859209-π/2
    1.86739331171842-1.57079632675     		φ = 0.29659698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.29659698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 16.993755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9650 KachelY 7407 0.55913600 0.29659698 32.036133 16.993755
    Oben rechts KachelX + 1 9651 KachelY 7407 0.55951949 0.29659698 32.058105 16.993755
    Unten links KachelX 9650 KachelY + 1 7408 0.55913600 0.29623021 32.036133 16.972741
    Unten rechts KachelX + 1 9651 KachelY + 1 7408 0.55951949 0.29623021 32.058105 16.972741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.29659698-0.29623021) × R
    0.000366770000000016 × 6371000     		dl = 2336.6916700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.29659698-0.29623021) × R
    0.000366770000000016 × 6371000     		dr = 2336.6916700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.29659698) × R
    0.000383490000000042 × 0.956336616704942 × 6371000     		do = 2336.53576615233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.29623021) × R
    0.000383490000000042 × 0.956443747320158 × 6371000     		du = 2336.79750925589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.29659698)-sin(0.29623021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.956336616704942-0.956443747320158)×R²
    abs(0.55951949-0.55913600)×0.0001071306152165×R²
    0.000383490000000042×0.0001071306152165×6371000²
    0.000383490000000042×0.0001071306152165×40589641000000     		ar = 5460069.52909727m²