Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9650 / 7384
↖ ↑ ↗
← N 17.476432°
E 32.036133°		 ← 2 330.44 m → N 17.476432°
E 32.058105°		 →
↑
2 330.58 m
↓
↑
2 330.58 m
↓
N 17.455473°
E 32.036133°		 ← 2 330.71 m →
5 431 573 m²		 N 17.455473°
E 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589019775390625 y=0.450714111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589019775390625 × 214)
    floor (0.589019775390625 × 16384)
    floor (9650.5)     		tx = 9650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450714111328125 × 214)
    floor (0.450714111328125 × 16384)
    floor (7384.5)     		ty = 7384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9650 / 7384 ti = "14/9650/7384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9650/7384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9650 ÷ 214
    9650 ÷ 16384     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7384 ÷ 214
    7384 ÷ 16384     		y = 0.45068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45068359375 × 2 - 1) × π
    0.0986328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.309864119144043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.309864119144043))-π/2
    2×atan(1.36323986334694)-π/2
    2×0.937908805064529-π/2
    1.87581761012906-1.57079632675     		φ = 0.30502128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30502128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.476432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9650 KachelY 7384 0.55913600 0.30502128 32.036133 17.476432
    Oben rechts KachelX + 1 9651 KachelY 7384 0.55951949 0.30502128 32.058105 17.476432
    Unten links KachelX 9650 KachelY + 1 7385 0.55913600 0.30465547 32.036133 17.455473
    Unten rechts KachelX + 1 9651 KachelY + 1 7385 0.55951949 0.30465547 32.058105 17.455473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30502128-0.30465547) × R
    0.000365810000000022 × 6371000     		dl = 2330.57551000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30502128-0.30465547) × R
    0.000365810000000022 × 6371000     		dr = 2330.57551000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.30502128) × R
    0.000383490000000042 × 0.95384056211299 × 6371000     		do = 2330.43736865662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.30465547) × R
    0.000383490000000042 × 0.95395035596208 × 6371000     		du = 2330.70561861257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30502128)-sin(0.30465547))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95384056211299-0.95395035596208)×R²
    abs(0.55951949-0.55913600)×0.000109793849090045×R²
    0.000383490000000042×0.000109793849090045×6371000²
    0.000383490000000042×0.000109793849090045×40589641000000     		ar = 5431572.90793888m²