Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 9650 / 7381
↖ ↑ ↗
← N 17.539296°
E 32.036133°		 ← 2 329.63 m → N 17.539296°
E 32.058105°		 →
↑
2 329.75 m
↓
↑
2 329.75 m
↓
N 17.518344°
E 32.036133°		 ← 2 329.90 m →
5 427 765 m²		 N 17.518344°
E 32.058105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 9650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.589019775390625 y=0.450531005859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.589019775390625 × 214)
    floor (0.589019775390625 × 16384)
    floor (9650.5)     		tx = 9650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.450531005859375 × 214)
    floor (0.450531005859375 × 16384)
    floor (7381.5)     		ty = 7381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 9650 / 7381 ti = "14/9650/7381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/9650/7381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 9650 ÷ 214
    9650 ÷ 16384     		x = 0.5889892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7381 ÷ 214
    7381 ÷ 16384     		y = 0.45050048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5889892578125 × 2 - 1) × π
    0.177978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.55913600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45050048828125 × 2 - 1) × π
    0.0989990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.311014604734924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55913600} λ = 0.55913600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.311014604734924))-π/2
    2×atan(1.36480915371652)-π/2
    2×0.938457400088227-π/2
    1.87691480017645-1.57079632675     		φ = 0.30611847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55913600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 32.036133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.30611847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 17.539296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 9650 KachelY 7381 0.55913600 0.30611847 32.036133 17.539296
    Oben rechts KachelX + 1 9651 KachelY 7381 0.55951949 0.30611847 32.058105 17.539296
    Unten links KachelX 9650 KachelY + 1 7382 0.55913600 0.30575279 32.036133 17.518344
    Unten rechts KachelX + 1 9651 KachelY + 1 7382 0.55951949 0.30575279 32.058105 17.518344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.30611847-0.30575279) × R
    0.000365679999999979 × 6371000     		dl = 2329.74727999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.30611847-0.30575279) × R
    0.000365679999999979 × 6371000     		dr = 2329.74727999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.30611847) × R
    0.000383490000000042 × 0.953510487110727 × 6371000     		do = 2329.63092452929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55913600-0.55951949) × cos(0.30575279) × R
    0.000383490000000042 × 0.953620624620632 × 6371000     		du = 2329.90001412242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.30611847)-sin(0.30575279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.953510487110727-0.953620624620632)×R²
    abs(0.55951949-0.55913600)×0.000110137509905073×R²
    0.000383490000000042×0.000110137509905073×6371000²
    0.000383490000000042×0.000110137509905073×40589641000000     		ar = 5427764.82568442m²