Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96499 / 101906
↖ ↑ ↗
← S 70.157153°
E 85.042419°		 ← 103.67 m → S 70.157153°
E 85.045166°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.158085°
E 85.042419°		 ← 103.67 m →
10 746 m²		 S 70.158085°
E 85.045166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736232757568359 y=0.777484893798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736232757568359 × 217)
    floor (0.736232757568359 × 131072)
    floor (96499.5)     		tx = 96499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777484893798828 × 217)
    floor (0.777484893798828 × 131072)
    floor (101906.5)     		ty = 101906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96499 / 101906 ti = "17/96499/101906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96499/101906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96499 ÷ 217
    96499 ÷ 131072     		x = 0.736228942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101906 ÷ 217
    101906 ÷ 131072     		y = 0.777481079101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736228942871094 × 2 - 1) × π
    0.472457885742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.48427022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777481079101562 × 2 - 1) × π
    -0.554962158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74346503918144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48427022} λ = 1.48427022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74346503918144))-π/2
    2×atan(0.174913268028282)-π/2
    2×0.173161510480173-π/2
    0.346323020960345-1.57079632675     		φ = -1.22447331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48427022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.042419°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22447331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.157153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96499 KachelY 101906 1.48427022 -1.22447331 85.042419 -70.157153
    Oben rechts KachelX + 1 96500 KachelY 101906 1.48431816 -1.22447331 85.045166 -70.157153
    Unten links KachelX 96499 KachelY + 1 101907 1.48427022 -1.22448958 85.042419 -70.158085
    Unten rechts KachelX + 1 96500 KachelY + 1 101907 1.48431816 -1.22448958 85.045166 -70.158085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22447331--1.22448958) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22447331--1.22448958) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48427022-1.48431816) × cos(-1.22447331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339441439528438 × 6371000     		do = 103.67415285457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48427022-1.48431816) × cos(-1.22448958) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339426135479142 × 6371000     		du = 103.669478603989m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22447331)-sin(-1.22448958))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339441439528438-0.339426135479142)×R²
    abs(1.48431816-1.48427022)×1.53040492953949e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53040492953949e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53040492953949e-05×40589641000000     		ar = 10746.2233554375m²