Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96498 / 101907
↖ ↑ ↗
← S 70.158085°
E 85.039673°		 ← 103.65 m → S 70.158085°
E 85.042419°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.159017°
E 85.039673°		 ← 103.64 m →
10 743 m²		 S 70.159017°
E 85.042419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736225128173828 y=0.777492523193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736225128173828 × 217)
    floor (0.736225128173828 × 131072)
    floor (96498.5)     		tx = 96498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777492523193359 × 217)
    floor (0.777492523193359 × 131072)
    floor (101907.5)     		ty = 101907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96498 / 101907 ti = "17/96498/101907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96498/101907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96498 ÷ 217
    96498 ÷ 131072     		x = 0.736221313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101907 ÷ 217
    101907 ÷ 131072     		y = 0.777488708496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736221313476562 × 2 - 1) × π
    0.472442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48422229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777488708496094 × 2 - 1) × π
    -0.554977416992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74351297608106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48422229} λ = 1.48422229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74351297608106))-π/2
    2×atan(0.174904883429478)-π/2
    2×0.173153374778396-π/2
    0.346306749556792-1.57079632675     		φ = -1.22448958
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48422229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.039673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22448958 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.158085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96498 KachelY 101907 1.48422229 -1.22448958 85.039673 -70.158085
    Oben rechts KachelX + 1 96499 KachelY 101907 1.48427022 -1.22448958 85.042419 -70.158085
    Unten links KachelX 96498 KachelY + 1 101908 1.48422229 -1.22450585 85.039673 -70.159017
    Unten rechts KachelX + 1 96499 KachelY + 1 101908 1.48427022 -1.22450585 85.042419 -70.159017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22448958--1.22450585) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22448958--1.22450585) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48422229-1.48427022) × cos(-1.22448958) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339426135479142 × 6371000     		do = 103.647853765029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48422229-1.48427022) × cos(-1.22450585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339410831339996 × 6371000     		du = 103.643180462032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22448958)-sin(-1.22450585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339426135479142-0.339410831339996)×R²
    abs(1.48427022-1.48422229)×1.53041391458553e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53041391458553e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53041391458553e-05×40589641000000     		ar = 10743.4973418933m²