Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96451 / 101955
↖ ↑ ↗
← S 70.202785°
E 84.910583°		 ← 103.45 m → S 70.202785°
E 84.913330°		 →
↑
103.47 m
↓
↑
103.47 m
↓
S 70.203715°
E 84.910583°		 ← 103.44 m →
10 703 m²		 S 70.203715°
E 84.913330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735866546630859 y=0.777858734130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735866546630859 × 217)
    floor (0.735866546630859 × 131072)
    floor (96451.5)     		tx = 96451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777858734130859 × 217)
    floor (0.777858734130859 × 131072)
    floor (101955.5)     		ty = 101955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96451 / 101955 ti = "17/96451/101955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96451/101955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96451 ÷ 217
    96451 ÷ 131072     		x = 0.735862731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101955 ÷ 217
    101955 ÷ 131072     		y = 0.777854919433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735862731933594 × 2 - 1) × π
    0.471725463867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.48196925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777854919433594 × 2 - 1) × π
    -0.555709838867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.74581394726283
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48196925} λ = 1.48196925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74581394726283))-π/2
    2×atan(0.174502894992421)-π/2
    2×0.172763292230524-π/2
    0.345526584461048-1.57079632675     		φ = -1.22526974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48196925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.910583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22526974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.202785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96451 KachelY 101955 1.48196925 -1.22526974 84.910583 -70.202785
    Oben rechts KachelX + 1 96452 KachelY 101955 1.48201719 -1.22526974 84.913330 -70.202785
    Unten links KachelX 96451 KachelY + 1 101956 1.48196925 -1.22528598 84.910583 -70.203715
    Unten rechts KachelX + 1 96452 KachelY + 1 101956 1.48201719 -1.22528598 84.913330 -70.203715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22526974--1.22528598) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dl = 103.465039999297m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22526974--1.22528598) × R
    1.62399999998897e-05 × 6371000     		dr = 103.465039999297m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48196925-1.48201719) × cos(-1.22526974) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.338692188241338 × 6371000     		do = 103.445312226241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48196925-1.48201719) × cos(-1.22528598) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.338676908025624 × 6371000     		du = 103.440645255049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22526974)-sin(-1.22528598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338692188241338-0.338676908025624)×R²
    abs(1.48201719-1.48196925)×1.528021571362e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.528021571362e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.528021571362e-05×40589641000000     		ar = 10702.7319331346m²