Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96447 / 101962
↖ ↑ ↗
← S 70.209296°
E 84.899597°		 ← 103.41 m → S 70.209296°
E 84.902344°		 →
↑
103.40 m
↓
↑
103.40 m
↓
S 70.210226°
E 84.899597°		 ← 103.41 m →
10 693 m²		 S 70.210226°
E 84.902344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96447 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101962 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735836029052734 y=0.777912139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735836029052734 × 217)
    floor (0.735836029052734 × 131072)
    floor (96447.5)     		tx = 96447
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777912139892578 × 217)
    floor (0.777912139892578 × 131072)
    floor (101962.5)     		ty = 101962
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96447 / 101962 ti = "17/96447/101962"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96447/101962.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96447 ÷ 217
    96447 ÷ 131072     		x = 0.735832214355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101962 ÷ 217
    101962 ÷ 131072     		y = 0.777908325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735832214355469 × 2 - 1) × π
    0.471664428710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.48177750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777908325195312 × 2 - 1) × π
    -0.555816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74614950556017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48177750} λ = 1.48177750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74614950556017))-π/2
    2×atan(0.174444348921456)-π/2
    2×0.172706475713704-π/2
    0.345412951427409-1.57079632675     		φ = -1.22538338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48177750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.899597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22538338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.209296°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96447 KachelY 101962 1.48177750 -1.22538338 84.899597 -70.209296
    Oben rechts KachelX + 1 96448 KachelY 101962 1.48182544 -1.22538338 84.902344 -70.209296
    Unten links KachelX 96447 KachelY + 1 101963 1.48177750 -1.22539961 84.899597 -70.210226
    Unten rechts KachelX + 1 96448 KachelY + 1 101963 1.48182544 -1.22539961 84.902344 -70.210226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22538338--1.22539961) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dl = 103.401329999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22538338--1.22539961) × R
    1.62299999999505e-05 × 6371000     		dr = 103.401329999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48177750-1.48182544) × cos(-1.22538338) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338585262493153 × 6371000     		do = 103.412654349998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48177750-1.48182544) × cos(-1.22539961) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338569991061903 × 6371000     		du = 103.407990061807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22538338)-sin(-1.22539961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338585262493153-0.338569991061903)×R²
    abs(1.48182544-1.48177750)×1.52714312498525e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52714312498525e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52714312498525e-05×40589641000000     		ar = 10692.7648521938m²