Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96427 / 102123
↖ ↑ ↗
← S 70.358475°
E 84.844666°		 ← 102.64 m → S 70.358475°
E 84.847412°		 →
↑
102.70 m
↓
↑
102.70 m
↓
S 70.359399°
E 84.844666°		 ← 102.64 m →
10 541 m²		 S 70.359399°
E 84.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735683441162109 y=0.779140472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735683441162109 × 217)
    floor (0.735683441162109 × 131072)
    floor (96427.5)     		tx = 96427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779140472412109 × 217)
    floor (0.779140472412109 × 131072)
    floor (102123.5)     		ty = 102123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96427 / 102123 ti = "17/96427/102123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96427/102123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96427 ÷ 217
    96427 ÷ 131072     		x = 0.735679626464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102123 ÷ 217
    102123 ÷ 131072     		y = 0.779136657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735679626464844 × 2 - 1) × π
    0.471359252929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.48081877
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779136657714844 × 2 - 1) × π
    -0.558273315429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.75386734639899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48081877} λ = 1.48081877}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75386734639899))-π/2
    2×atan(0.173103197255937)-π/2
    2×0.171404636287662-π/2
    0.342809272575324-1.57079632675     		φ = -1.22798705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48081877} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.844666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22798705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.358475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96427 KachelY 102123 1.48081877 -1.22798705 84.844666 -70.358475
    Oben rechts KachelX + 1 96428 KachelY 102123 1.48086670 -1.22798705 84.847412 -70.358475
    Unten links KachelX 96427 KachelY + 1 102124 1.48081877 -1.22800317 84.844666 -70.359399
    Unten rechts KachelX + 1 96428 KachelY + 1 102124 1.48086670 -1.22800317 84.847412 -70.359399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22798705--1.22800317) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dl = 102.7005199997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22798705--1.22800317) × R
    1.61199999999528e-05 × 6371000     		dr = 102.7005199997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48081877-1.48086670) × cos(-1.22798705) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336134231517122 × 6371000     		do = 102.642631288621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48081877-1.48086670) × cos(-1.22800317) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336119049430333 × 6371000     		du = 102.63799525578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22798705)-sin(-1.22800317))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336134231517122-0.336119049430333)×R²
    abs(1.48086670-1.48081877)×1.51820867883568e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51820867883568e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51820867883568e-05×40589641000000     		ar = 10541.2135463968m²