Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96424 / 102119
↖ ↑ ↗
← S 70.354783°
E 84.836426°		 ← 102.66 m → S 70.354783°
E 84.839172°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.355706°
E 84.836426°		 ← 102.66 m →
10 537 m²		 S 70.355706°
E 84.839172°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735660552978516 y=0.779109954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735660552978516 × 217)
    floor (0.735660552978516 × 131072)
    floor (96424.5)     		tx = 96424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779109954833984 × 217)
    floor (0.779109954833984 × 131072)
    floor (102119.5)     		ty = 102119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96424 / 102119 ti = "17/96424/102119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96424/102119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96424 ÷ 217
    96424 ÷ 131072     		x = 0.73565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102119 ÷ 217
    102119 ÷ 131072     		y = 0.779106140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73565673828125 × 2 - 1) × π
    0.4713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48067496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779106140136719 × 2 - 1) × π
    -0.558212280273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.75367559880051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48067496} λ = 1.48067496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75367559880051))-π/2
    2×atan(0.173136392560758)-π/2
    2×0.171436865663162-π/2
    0.342873731326324-1.57079632675     		φ = -1.22792260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48067496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22792260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.354783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96424 KachelY 102119 1.48067496 -1.22792260 84.836426 -70.354783
    Oben rechts KachelX + 1 96425 KachelY 102119 1.48072289 -1.22792260 84.839172 -70.354783
    Unten links KachelX 96424 KachelY + 1 102120 1.48067496 -1.22793871 84.836426 -70.355706
    Unten rechts KachelX + 1 96425 KachelY + 1 102120 1.48072289 -1.22793871 84.839172 -70.355706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22792260--1.22793871) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22792260--1.22793871) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48067496-1.48072289) × cos(-1.22792260) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336194930737004 × 6371000     		do = 102.661166525624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48067496-1.48072289) × cos(-1.22793871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336179758417439 × 6371000     		du = 102.656533475321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22792260)-sin(-1.22793871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336194930737004-0.336179758417439)×R²
    abs(1.48072289-1.48067496)×1.51723195651043e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51723195651043e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51723195651043e-05×40589641000000     		ar = 10536.5768824429m²