Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96418 / 102127
↖ ↑ ↗
← S 70.362168°
E 84.819946°		 ← 102.65 m → S 70.362168°
E 84.822693°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.363091°
E 84.819946°		 ← 102.64 m →
10 535 m²		 S 70.363091°
E 84.822693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735614776611328 y=0.779170989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735614776611328 × 217)
    floor (0.735614776611328 × 131072)
    floor (96418.5)     		tx = 96418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779170989990234 × 217)
    floor (0.779170989990234 × 131072)
    floor (102127.5)     		ty = 102127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96418 / 102127 ti = "17/96418/102127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96418/102127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96418 ÷ 217
    96418 ÷ 131072     		x = 0.735610961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102127 ÷ 217
    102127 ÷ 131072     		y = 0.779167175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735610961914062 × 2 - 1) × π
    0.471221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48038733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779167175292969 × 2 - 1) × π
    -0.558334350585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.75405909399747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48038733} λ = 1.48038733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75405909399747))-π/2
    2×atan(0.173070008315625)-π/2
    2×0.171372412731958-π/2
    0.342744825463916-1.57079632675     		φ = -1.22805150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48038733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.819946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22805150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.362168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96418 KachelY 102127 1.48038733 -1.22805150 84.819946 -70.362168
    Oben rechts KachelX + 1 96419 KachelY 102127 1.48043527 -1.22805150 84.822693 -70.362168
    Unten links KachelX 96418 KachelY + 1 102128 1.48038733 -1.22806761 84.819946 -70.363091
    Unten rechts KachelX + 1 96419 KachelY + 1 102128 1.48043527 -1.22806761 84.822693 -70.363091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22805150--1.22806761) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22805150--1.22806761) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48038733-1.48043527) × cos(-1.22805150) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.336073530901004 × 6371000     		do = 102.64550687026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48038733-1.48043527) × cos(-1.22806761) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.336058357883446 × 6371000     		du = 102.640872640144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22805150)-sin(-1.22806761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336073530901004-0.336058357883446)×R²
    abs(1.48043527-1.48038733)×1.51730175586007e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.51730175586007e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.51730175586007e-05×40589641000000     		ar = 10534.9695647847m²