Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96415 / 102125
↖ ↑ ↗
← S 70.360322°
E 84.811706°		 ← 102.65 m → S 70.360322°
E 84.814453°		 →
↑
102.64 m
↓
↑
102.64 m
↓
S 70.361245°
E 84.811706°		 ← 102.65 m →
10 536 m²		 S 70.361245°
E 84.814453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735591888427734 y=0.779155731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735591888427734 × 217)
    floor (0.735591888427734 × 131072)
    floor (96415.5)     		tx = 96415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779155731201172 × 217)
    floor (0.779155731201172 × 131072)
    floor (102125.5)     		ty = 102125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96415 / 102125 ti = "17/96415/102125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96415/102125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96415 ÷ 217
    96415 ÷ 131072     		x = 0.735588073730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102125 ÷ 217
    102125 ÷ 131072     		y = 0.779151916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735588073730469 × 2 - 1) × π
    0.471176147460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.48024352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779151916503906 × 2 - 1) × π
    -0.558303833007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.75396322019823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48024352} λ = 1.48024352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75396322019823))-π/2
    2×atan(0.173086601990293)-π/2
    2×0.171388523782393-π/2
    0.342777047564785-1.57079632675     		φ = -1.22801928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48024352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.811706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22801928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.360322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96415 KachelY 102125 1.48024352 -1.22801928 84.811706 -70.360322
    Oben rechts KachelX + 1 96416 KachelY 102125 1.48029146 -1.22801928 84.814453 -70.360322
    Unten links KachelX 96415 KachelY + 1 102126 1.48024352 -1.22803539 84.811706 -70.361245
    Unten rechts KachelX + 1 96416 KachelY + 1 102126 1.48029146 -1.22803539 84.814453 -70.361245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22801928--1.22803539) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dl = 102.636810000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22801928--1.22803539) × R
    1.61100000000136e-05 × 6371000     		dr = 102.636810000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48024352-1.48029146) × cos(-1.22801928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336103876674452 × 6371000     		do = 102.654775250096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48024352-1.48029146) × cos(-1.22803539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.336088703831341 × 6371000     		du = 102.650141073261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22801928)-sin(-1.22803539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336103876674452-0.336088703831341)×R²
    abs(1.48029146-1.48024352)×1.51728431109222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51728431109222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51728431109222e-05×40589641000000     		ar = 10535.9208447073m²