Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96413 / 102039
↖ ↑ ↗
← S 70.280778°
E 84.806213°		 ← 103.05 m → S 70.280778°
E 84.808960°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.281705°
E 84.806213°		 ← 103.05 m →
10 623 m²		 S 70.281705°
E 84.808960°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96413 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735576629638672 y=0.778499603271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735576629638672 × 217)
    floor (0.735576629638672 × 131072)
    floor (96413.5)     		tx = 96413
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778499603271484 × 217)
    floor (0.778499603271484 × 131072)
    floor (102039.5)     		ty = 102039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96413 / 102039 ti = "17/96413/102039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96413/102039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96413 ÷ 217
    96413 ÷ 131072     		x = 0.735572814941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102039 ÷ 217
    102039 ÷ 131072     		y = 0.778495788574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735572814941406 × 2 - 1) × π
    0.471145629882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.48014765
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778495788574219 × 2 - 1) × π
    -0.556991577148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74984064683091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48014765} λ = 1.48014765}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74984064683091))-π/2
    2×atan(0.173801637085515)-π/2
    2×0.172082676743345-π/2
    0.344165353486689-1.57079632675     		φ = -1.22663097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48014765} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.806213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22663097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.280778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96413 KachelY 102039 1.48014765 -1.22663097 84.806213 -70.280778
    Oben rechts KachelX + 1 96414 KachelY 102039 1.48019559 -1.22663097 84.808960 -70.280778
    Unten links KachelX 96413 KachelY + 1 102040 1.48014765 -1.22664715 84.806213 -70.281705
    Unten rechts KachelX + 1 96414 KachelY + 1 102040 1.48019559 -1.22664715 84.808960 -70.281705
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22663097--1.22664715) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22663097--1.22664715) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48014765-1.48019559) × cos(-1.22663097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337411097308133 × 6371000     		do = 103.054034079481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48014765-1.48019559) × cos(-1.22664715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337395866101262 × 6371000     		du = 103.049382076851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22663097)-sin(-1.22664715))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337411097308133-0.337395866101262)×R²
    abs(1.48019559-1.48014765)×1.52312068703586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52312068703586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52312068703586e-05×40589641000000     		ar = 10622.8565528059m²