Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96407 / 102284
↖ ↑ ↗
← S 70.506575°
E 84.789734°		 ← 101.92 m → S 70.506575°
E 84.792481°		 →
↑
101.87 m
↓
↑
101.87 m
↓
S 70.507491°
E 84.789734°		 ← 101.92 m →
10 383 m²		 S 70.507491°
E 84.792481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96407 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102284 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735530853271484 y=0.780368804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735530853271484 × 217)
    floor (0.735530853271484 × 131072)
    floor (96407.5)     		tx = 96407
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780368804931641 × 217)
    floor (0.780368804931641 × 131072)
    floor (102284.5)     		ty = 102284
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96407 / 102284 ti = "17/96407/102284"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96407/102284.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96407 ÷ 217
    96407 ÷ 131072     		x = 0.735527038574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102284 ÷ 217
    102284 ÷ 131072     		y = 0.780364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735527038574219 × 2 - 1) × π
    0.471054077148438 × 3.1415926535     		Λ = 1.47986003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780364990234375 × 2 - 1) × π
    -0.56072998046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.76158518723782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47986003} λ = 1.47986003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76158518723782))-π/2
    2×atan(0.171772356545178)-π/2
    2×0.170112225310616-π/2
    0.340224450621233-1.57079632675     		φ = -1.23057188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47986003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.789734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23057188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.506575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96407 KachelY 102284 1.47986003 -1.23057188 84.789734 -70.506575
    Oben rechts KachelX + 1 96408 KachelY 102284 1.47990797 -1.23057188 84.792481 -70.506575
    Unten links KachelX 96407 KachelY + 1 102285 1.47986003 -1.23058787 84.789734 -70.507491
    Unten rechts KachelX + 1 96408 KachelY + 1 102285 1.47990797 -1.23058787 84.792481 -70.507491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23057188--1.23058787) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dl = 101.872289999074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23057188--1.23058787) × R
    1.59899999998547e-05 × 6371000     		dr = 101.872289999074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47986003-1.47990797) × cos(-1.23057188) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333698682002156 × 6371000     		do = 101.920166887466m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47986003-1.47990797) × cos(-1.23058787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333683608509628 × 6371000     		du = 101.915563054857m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23057188)-sin(-1.23058787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333698682002156-0.333683608509628)×R²
    abs(1.47990797-1.47986003)×1.5073492528106e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5073492528106e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5073492528106e-05×40589641000000     		ar = 10382.6062966414m²