Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96403 / 102287
↖ ↑ ↗
← S 70.509324°
E 84.778748°		 ← 101.91 m → S 70.509324°
E 84.781494°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 70.510241°
E 84.778748°		 ← 101.90 m →
10 388 m²		 S 70.510241°
E 84.781494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735500335693359 y=0.780391693115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735500335693359 × 217)
    floor (0.735500335693359 × 131072)
    floor (96403.5)     		tx = 96403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780391693115234 × 217)
    floor (0.780391693115234 × 131072)
    floor (102287.5)     		ty = 102287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96403 / 102287 ti = "17/96403/102287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96403/102287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96403 ÷ 217
    96403 ÷ 131072     		x = 0.735496520996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102287 ÷ 217
    102287 ÷ 131072     		y = 0.780387878417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735496520996094 × 2 - 1) × π
    0.470993041992188 × 3.1415926535     		Λ = 1.47966828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780387878417969 × 2 - 1) × π
    -0.560775756835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.76172899793668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47966828} λ = 1.47966828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76172899793668))-π/2
    2×atan(0.17174765561871)-π/2
    2×0.17008823221641-π/2
    0.340176464432821-1.57079632675     		φ = -1.23061986
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47966828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.778748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23061986 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.509324°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96403 KachelY 102287 1.47966828 -1.23061986 84.778748 -70.509324
    Oben rechts KachelX + 1 96404 KachelY 102287 1.47971622 -1.23061986 84.781494 -70.509324
    Unten links KachelX 96403 KachelY + 1 102288 1.47966828 -1.23063586 84.778748 -70.510241
    Unten rechts KachelX + 1 96404 KachelY + 1 102288 1.47971622 -1.23063586 84.781494 -70.510241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23061986--1.23063586) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23061986--1.23063586) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47966828-1.47971622) × cos(-1.23061986) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333653451841668 × 6371000     		do = 101.906352432229m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47966828-1.47971622) × cos(-1.23063586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333638368666138 × 6371000     		du = 101.901745642181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23061986)-sin(-1.23063586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333653451841668-0.333638368666138)×R²
    abs(1.47971622-1.47966828)×1.50831755302283e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50831755302283e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50831755302283e-05×40589641000000     		ar = 10387.6911428766m²