Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96396 / 102140
↖ ↑ ↗
← S 70.374164°
E 84.759521°		 ← 102.59 m → S 70.374164°
E 84.762268°		 →
↑
102.57 m
↓
↑
102.57 m
↓
S 70.375086°
E 84.759521°		 ← 102.58 m →
10 522 m²		 S 70.375086°
E 84.762268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102140 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735446929931641 y=0.779270172119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735446929931641 × 217)
    floor (0.735446929931641 × 131072)
    floor (96396.5)     		tx = 96396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779270172119141 × 217)
    floor (0.779270172119141 × 131072)
    floor (102140.5)     		ty = 102140
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96396 / 102140 ti = "17/96396/102140"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96396/102140.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96396 ÷ 217
    96396 ÷ 131072     		x = 0.735443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102140 ÷ 217
    102140 ÷ 131072     		y = 0.779266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    0.47088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47933272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.55853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75468227369254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47933272} λ = 1.47933272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75468227369254))-π/2
    2×atan(0.172962188199762)-π/2
    2×0.171267726357806-π/2
    0.342535452715612-1.57079632675     		φ = -1.22826087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47933272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.759521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22826087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.374164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96396 KachelY 102140 1.47933272 -1.22826087 84.759521 -70.374164
    Oben rechts KachelX + 1 96397 KachelY 102140 1.47938066 -1.22826087 84.762268 -70.374164
    Unten links KachelX 96396 KachelY + 1 102141 1.47933272 -1.22827697 84.759521 -70.375086
    Unten rechts KachelX + 1 96397 KachelY + 1 102141 1.47938066 -1.22827697 84.762268 -70.375086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22826087--1.22827697) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dl = 102.573100000474m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22826087--1.22827697) × R
    1.61000000000744e-05 × 6371000     		dr = 102.573100000474m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47933272-1.47938066) × cos(-1.22826087) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335876331385237 × 6371000     		do = 102.585277061754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47933272-1.47938066) × cos(-1.22827697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.335861166653592 × 6371000     		du = 102.580645362369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22826087)-sin(-1.22827697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335876331385237-0.335861166653592)×R²
    abs(1.47938066-1.47933272)×1.51647316449233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51647316449233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51647316449233e-05×40589641000000     		ar = 10522.2523390636m²