Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96395 / 102259
↖ ↑ ↗
← S 70.483649°
E 84.756775°		 ← 102.01 m → S 70.483649°
E 84.759521°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.484566°
E 84.756775°		 ← 102.01 m →
10 405 m²		 S 70.484566°
E 84.759521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735439300537109 y=0.780178070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735439300537109 × 217)
    floor (0.735439300537109 × 131072)
    floor (96395.5)     		tx = 96395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780178070068359 × 217)
    floor (0.780178070068359 × 131072)
    floor (102259.5)     		ty = 102259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96395 / 102259 ti = "17/96395/102259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96395/102259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96395 ÷ 217
    96395 ÷ 131072     		x = 0.735435485839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102259 ÷ 217
    102259 ÷ 131072     		y = 0.780174255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735435485839844 × 2 - 1) × π
    0.470870971679688 × 3.1415926535     		Λ = 1.47928479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780174255371094 × 2 - 1) × π
    -0.560348510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.76038676474732
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47928479} λ = 1.47928479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76038676474732))-π/2
    2×atan(0.171978335800942)-π/2
    2×0.170312294300782-π/2
    0.340624588601564-1.57079632675     		φ = -1.23017174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47928479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.756775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23017174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.483649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96395 KachelY 102259 1.47928479 -1.23017174 84.756775 -70.483649
    Oben rechts KachelX + 1 96396 KachelY 102259 1.47933272 -1.23017174 84.759521 -70.483649
    Unten links KachelX 96395 KachelY + 1 102260 1.47928479 -1.23018775 84.756775 -70.484566
    Unten rechts KachelX + 1 96396 KachelY + 1 102260 1.47933272 -1.23018775 84.759521 -70.484566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23017174--1.23018775) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23017174--1.23018775) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47928479-1.47933272) × cos(-1.23017174) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334075859169346 × 6371000     		do = 102.014082530008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47928479-1.47933272) × cos(-1.23018775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.334060768962029 × 6371000     		du = 102.009474553669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23017174)-sin(-1.23018775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334075859169346-0.334060768962029)×R²
    abs(1.47933272-1.47928479)×1.50902073167147e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50902073167147e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50902073167147e-05×40589641000000     		ar = 10405.1718279693m²