Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96394 / 102266
↖ ↑ ↗
← S 70.490070°
E 84.754028°		 ← 102 m → S 70.490070°
E 84.756775°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 70.490988°
E 84.754028°		 ← 102 m →
10 404 m²		 S 70.490988°
E 84.756775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96394 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735431671142578 y=0.780231475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735431671142578 × 217)
    floor (0.735431671142578 × 131072)
    floor (96394.5)     		tx = 96394
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780231475830078 × 217)
    floor (0.780231475830078 × 131072)
    floor (102266.5)     		ty = 102266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96394 / 102266 ti = "17/96394/102266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96394/102266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96394 ÷ 217
    96394 ÷ 131072     		x = 0.735427856445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102266 ÷ 217
    102266 ÷ 131072     		y = 0.780227661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735427856445312 × 2 - 1) × π
    0.470855712890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.47923685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780227661132812 × 2 - 1) × π
    -0.560455322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76072232304466
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47923685} λ = 1.47923685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76072232304466))-π/2
    2×atan(0.171920636724645)-π/2
    2×0.170256252200313-π/2
    0.340512504400626-1.57079632675     		φ = -1.23028382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47923685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.754028°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23028382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.490070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96394 KachelY 102266 1.47923685 -1.23028382 84.754028 -70.490070
    Oben rechts KachelX + 1 96395 KachelY 102266 1.47928479 -1.23028382 84.756775 -70.490070
    Unten links KachelX 96394 KachelY + 1 102267 1.47923685 -1.23029983 84.754028 -70.490988
    Unten rechts KachelX + 1 96395 KachelY + 1 102267 1.47928479 -1.23029983 84.756775 -70.490988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23028382--1.23029983) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dl = 101.999710001129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23028382--1.23029983) × R
    1.60100000001773e-05 × 6371000     		dr = 101.999710001129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47923685-1.47928479) × cos(-1.23028382) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333970216494272 × 6371000     		do = 102.003100510656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47923685-1.47928479) × cos(-1.23029983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333955125687597 × 6371000     		du = 101.99849138986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23028382)-sin(-1.23029983))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333970216494272-0.333955125687597)×R²
    abs(1.47928479-1.47923685)×1.50908066746114e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50908066746114e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50908066746114e-05×40589641000000     		ar = 10404.0516071693m²