Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96381 / 102525
↖ ↑ ↗
← S 70.726260°
E 84.718323°		 ← 100.82 m → S 70.726260°
E 84.721070°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 70.727166°
E 84.718323°		 ← 100.81 m →
10 161 m²		 S 70.727166°
E 84.721070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735332489013672 y=0.782207489013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735332489013672 × 217)
    floor (0.735332489013672 × 131072)
    floor (96381.5)     		tx = 96381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782207489013672 × 217)
    floor (0.782207489013672 × 131072)
    floor (102525.5)     		ty = 102525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96381 / 102525 ti = "17/96381/102525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96381/102525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96381 ÷ 217
    96381 ÷ 131072     		x = 0.735328674316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102525 ÷ 217
    102525 ÷ 131072     		y = 0.782203674316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735328674316406 × 2 - 1) × π
    0.470657348632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.47861367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782203674316406 × 2 - 1) × π
    -0.564407348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.77313798004626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47861367} λ = 1.47861367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77313798004626))-π/2
    2×atan(0.169799325056297)-π/2
    2×0.168195112347199-π/2
    0.336390224694398-1.57079632675     		φ = -1.23440610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47861367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.718323°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23440610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.726260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96381 KachelY 102525 1.47861367 -1.23440610 84.718323 -70.726260
    Oben rechts KachelX + 1 96382 KachelY 102525 1.47866161 -1.23440610 84.721070 -70.726260
    Unten links KachelX 96381 KachelY + 1 102526 1.47861367 -1.23442192 84.718323 -70.727166
    Unten rechts KachelX + 1 96382 KachelY + 1 102526 1.47866161 -1.23442192 84.721070 -70.727166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23440610--1.23442192) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23440610--1.23442192) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47861367-1.47866161) × cos(-1.23440610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330081796257746 × 6371000     		do = 100.815476882485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47861367-1.47866161) × cos(-1.23442192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.330066862890527 × 6371000     		du = 100.810915847752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23440610)-sin(-1.23442192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330081796257746-0.330066862890527)×R²
    abs(1.47866161-1.47861367)×1.49333672193608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.49333672193608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.49333672193608e-05×40589641000000     		ar = 10160.883427644m²