Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96380 / 102524
↖ ↑ ↗
← S 70.725353°
E 84.715576°		 ← 100.82 m → S 70.725353°
E 84.718323°		 →
↑
100.79 m
↓
↑
100.79 m
↓
S 70.726260°
E 84.715576°		 ← 100.82 m →
10 161 m²		 S 70.726260°
E 84.718323°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735324859619141 y=0.782199859619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735324859619141 × 217)
    floor (0.735324859619141 × 131072)
    floor (96380.5)     		tx = 96380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782199859619141 × 217)
    floor (0.782199859619141 × 131072)
    floor (102524.5)     		ty = 102524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96380 / 102524 ti = "17/96380/102524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96380/102524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96380 ÷ 217
    96380 ÷ 131072     		x = 0.735321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102524 ÷ 217
    102524 ÷ 131072     		y = 0.782196044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735321044921875 × 2 - 1) × π
    0.47064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47856573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782196044921875 × 2 - 1) × π
    -0.56439208984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.77309004314664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47856573} λ = 1.47856573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77309004314664))-π/2
    2×atan(0.169807464904596)-π/2
    2×0.16820302407512-π/2
    0.33640604815024-1.57079632675     		φ = -1.23439028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47856573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.715576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23439028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.725353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96380 KachelY 102524 1.47856573 -1.23439028 84.715576 -70.725353
    Oben rechts KachelX + 1 96381 KachelY 102524 1.47861367 -1.23439028 84.718323 -70.725353
    Unten links KachelX 96380 KachelY + 1 102525 1.47856573 -1.23440610 84.715576 -70.726260
    Unten rechts KachelX + 1 96381 KachelY + 1 102525 1.47861367 -1.23440610 84.718323 -70.726260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23439028--1.23440610) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dl = 100.789219999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23439028--1.23440610) × R
    1.58199999999997e-05 × 6371000     		dr = 100.789219999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47856573-1.47861367) × cos(-1.23439028) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330096729542355 × 6371000     		do = 100.820037892455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47856573-1.47861367) × cos(-1.23440610) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.330081796257746 × 6371000     		du = 100.815476882952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23439028)-sin(-1.23440610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330096729542355-0.330081796257746)×R²
    abs(1.47861367-1.47856573)×1.49332846089978e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.49332846089978e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.49332846089978e-05×40589641000000     		ar = 10161.3431293943m²