Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96378 / 102084
↖ ↑ ↗
← S 70.322438°
E 84.710083°		 ← 102.82 m → S 70.322438°
E 84.712829°		 →
↑
102.89 m
↓
↑
102.89 m
↓
S 70.323363°
E 84.710083°		 ← 102.82 m →
10 579 m²		 S 70.323363°
E 84.712829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96378 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735309600830078 y=0.778842926025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735309600830078 × 217)
    floor (0.735309600830078 × 131072)
    floor (96378.5)     		tx = 96378
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778842926025391 × 217)
    floor (0.778842926025391 × 131072)
    floor (102084.5)     		ty = 102084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96378 / 102084 ti = "17/96378/102084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96378/102084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96378 ÷ 217
    96378 ÷ 131072     		x = 0.735305786132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102084 ÷ 217
    102084 ÷ 131072     		y = 0.778839111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735305786132812 × 2 - 1) × π
    0.470611572265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.47846986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778839111328125 × 2 - 1) × π
    -0.55767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75199780731381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47846986} λ = 1.47846986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75199780731381))-π/2
    2×atan(0.173427123150689)-π/2
    2×0.17171912108969-π/2
    0.34343824217938-1.57079632675     		φ = -1.22735808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47846986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.710083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22735808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.322438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96378 KachelY 102084 1.47846986 -1.22735808 84.710083 -70.322438
    Oben rechts KachelX + 1 96379 KachelY 102084 1.47851779 -1.22735808 84.712829 -70.322438
    Unten links KachelX 96378 KachelY + 1 102085 1.47846986 -1.22737423 84.710083 -70.323363
    Unten rechts KachelX + 1 96379 KachelY + 1 102085 1.47851779 -1.22737423 84.712829 -70.323363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22735808--1.22737423) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dl = 102.891649999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22735808--1.22737423) × R
    1.61499999999926e-05 × 6371000     		dr = 102.891649999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47846986-1.47851779) × cos(-1.22735808) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33672653779778 × 6371000     		do = 102.823499136865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47846986-1.47851779) × cos(-1.22737423) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.336711330873744 × 6371000     		du = 102.818855519671m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22735808)-sin(-1.22737423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33672653779778-0.336711330873744)×R²
    abs(1.47851779-1.47846986)×1.52069240362818e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52069240362818e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52069240362818e-05×40589641000000     		ar = 10579.4405905373m²