Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96377 / 102280
↖ ↑ ↗
← S 70.502908°
E 84.707336°		 ← 101.94 m → S 70.502908°
E 84.710083°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 70.503825°
E 84.707336°		 ← 101.93 m →
10 391 m²		 S 70.503825°
E 84.710083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735301971435547 y=0.780338287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735301971435547 × 217)
    floor (0.735301971435547 × 131072)
    floor (96377.5)     		tx = 96377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780338287353516 × 217)
    floor (0.780338287353516 × 131072)
    floor (102280.5)     		ty = 102280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96377 / 102280 ti = "17/96377/102280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96377/102280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96377 ÷ 217
    96377 ÷ 131072     		x = 0.735298156738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102280 ÷ 217
    102280 ÷ 131072     		y = 0.78033447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735298156738281 × 2 - 1) × π
    0.470596313476562 × 3.1415926535     		Λ = 1.47842192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78033447265625 × 2 - 1) × π
    -0.5606689453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76139343963934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47842192} λ = 1.47842192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76139343963934))-π/2
    2×atan(0.171805296640022)-π/2
    2×0.170144221163029-π/2
    0.340288442326057-1.57079632675     		φ = -1.23050788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47842192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.707336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23050788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.502908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96377 KachelY 102280 1.47842192 -1.23050788 84.707336 -70.502908
    Oben rechts KachelX + 1 96378 KachelY 102280 1.47846986 -1.23050788 84.710083 -70.502908
    Unten links KachelX 96377 KachelY + 1 102281 1.47842192 -1.23052388 84.707336 -70.503825
    Unten rechts KachelX + 1 96378 KachelY + 1 102281 1.47846986 -1.23052388 84.710083 -70.503825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23050788--1.23052388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23050788--1.23052388) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47842192-1.47846986) × cos(-1.23050788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333759012825367 × 6371000     		do = 101.93859347379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47842192-1.47846986) × cos(-1.23052388) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.333743930247718 × 6371000     		du = 101.933986866351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23050788)-sin(-1.23052388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333759012825367-0.333743930247718)×R²
    abs(1.47846986-1.47842192)×1.50825776489838e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50825776489838e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50825776489838e-05×40589641000000     		ar = 10390.9776749745m²