Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 96372 / 102156
↖ ↑ ↗
← S 70.388919°
E 84.693604°		 ← 102.49 m → S 70.388919°
E 84.696350°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.389841°
E 84.693604°		 ← 102.49 m →
10 506 m²		 S 70.389841°
E 84.696350°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96372 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735263824462891 y=0.779392242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735263824462891 × 217)
    floor (0.735263824462891 × 131072)
    floor (96372.5)     		tx = 96372
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779392242431641 × 217)
    floor (0.779392242431641 × 131072)
    floor (102156.5)     		ty = 102156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96372 / 102156 ti = "17/96372/102156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96372/102156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96372 ÷ 217
    96372 ÷ 131072     		x = 0.735260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102156 ÷ 217
    102156 ÷ 131072     		y = 0.779388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735260009765625 × 2 - 1) × π
    0.47052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47818224
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779388427734375 × 2 - 1) × π
    -0.55877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75544926408646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47818224} λ = 1.47818224}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75544926408646))-π/2
    2×atan(0.172829578724499)-π/2
    2×0.171138965916836-π/2
    0.342277931833672-1.57079632675     		φ = -1.22851839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47818224} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.693604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22851839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.388919°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96372 KachelY 102156 1.47818224 -1.22851839 84.693604 -70.388919
    Oben rechts KachelX + 1 96373 KachelY 102156 1.47823017 -1.22851839 84.696350 -70.388919
    Unten links KachelX 96372 KachelY + 1 102157 1.47818224 -1.22853448 84.693604 -70.389841
    Unten rechts KachelX + 1 96373 KachelY + 1 102157 1.47823017 -1.22853448 84.696350 -70.389841
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22851839--1.22853448) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dl = 102.509389999446m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22851839--1.22853448) × R
    1.60899999999131e-05 × 6371000     		dr = 102.509389999446m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47818224-1.47823017) × cos(-1.22851839) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335633760593497 × 6371000     		do = 102.489806471427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47818224-1.47823017) × cos(-1.22853448) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335618603889799 × 6371000     		du = 102.485178189618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22851839)-sin(-1.22853448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335633760593497-0.335618603889799)×R²
    abs(1.47823017-1.47818224)×1.51567036983935e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51567036983935e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51567036983935e-05×40589641000000     		ar = 10505.9303214732m²