Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96362 / 102158
↖ ↑ ↗
← S 70.390763°
E 84.666138°		 ← 102.48 m → S 70.390763°
E 84.668884°		 →
↑
102.51 m
↓
↑
102.51 m
↓
S 70.391684°
E 84.666138°		 ← 102.48 m →
10 505 m²		 S 70.391684°
E 84.668884°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735187530517578 y=0.779407501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735187530517578 × 217)
    floor (0.735187530517578 × 131072)
    floor (96362.5)     		tx = 96362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779407501220703 × 217)
    floor (0.779407501220703 × 131072)
    floor (102158.5)     		ty = 102158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96362 / 102158 ti = "17/96362/102158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96362/102158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96362 ÷ 217
    96362 ÷ 131072     		x = 0.735183715820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102158 ÷ 217
    102158 ÷ 131072     		y = 0.779403686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735183715820312 × 2 - 1) × π
    0.470367431640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.47770287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779403686523438 × 2 - 1) × π
    -0.558807373046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7555451378857
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47770287} λ = 1.47770287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7555451378857))-π/2
    2×atan(0.172813009690446)-π/2
    2×0.171122877401679-π/2
    0.342245754803358-1.57079632675     		φ = -1.22855057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47770287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.666138°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22855057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.390763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96362 KachelY 102158 1.47770287 -1.22855057 84.666138 -70.390763
    Oben rechts KachelX + 1 96363 KachelY 102158 1.47775080 -1.22855057 84.668884 -70.390763
    Unten links KachelX 96362 KachelY + 1 102159 1.47770287 -1.22856666 84.666138 -70.391684
    Unten rechts KachelX + 1 96363 KachelY + 1 102159 1.47775080 -1.22856666 84.668884 -70.391684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22855057--1.22856666) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dl = 102.509390000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22855057--1.22856666) × R
    1.60900000001352e-05 × 6371000     		dr = 102.509390000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47770287-1.47775080) × cos(-1.22855057) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335603447099213 × 6371000     		do = 102.480549881276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47770287-1.47775080) × cos(-1.22856666) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.335588290221743 × 6371000     		du = 102.475921546403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22855057)-sin(-1.22856666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335603447099213-0.335588290221743)×R²
    abs(1.47775080-1.47770287)×1.51568774699462e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.51568774699462e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.51568774699462e-05×40589641000000     		ar = 10504.9814317958m²