Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 96359 / 102375
↖ ↑ ↗
← S 70.589808°
E 84.657898°		 ← 101.48 m → S 70.589808°
E 84.660644°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 70.590721°
E 84.657898°		 ← 101.48 m →
10 299 m²		 S 70.590721°
E 84.660644°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 96359 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735164642333984 y=0.781063079833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735164642333984 × 217)
    floor (0.735164642333984 × 131072)
    floor (96359.5)     		tx = 96359
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781063079833984 × 217)
    floor (0.781063079833984 × 131072)
    floor (102375.5)     		ty = 102375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 96359 / 102375 ti = "17/96359/102375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/96359/102375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 96359 ÷ 217
    96359 ÷ 131072     		x = 0.735160827636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102375 ÷ 217
    102375 ÷ 131072     		y = 0.781059265136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735160827636719 × 2 - 1) × π
    0.470321655273438 × 3.1415926535     		Λ = 1.47755906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781059265136719 × 2 - 1) × π
    -0.562118530273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.76594744510325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47755906} λ = 1.47755906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76594744510325))-π/2
    2×atan(0.171024673211185)-π/2
    2×0.169385880175154-π/2
    0.338771760350307-1.57079632675     		φ = -1.23202457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47755906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.657898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23202457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.589808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 96359 KachelY 102375 1.47755906 -1.23202457 84.657898 -70.589808
    Oben rechts KachelX + 1 96360 KachelY 102375 1.47760699 -1.23202457 84.660644 -70.589808
    Unten links KachelX 96359 KachelY + 1 102376 1.47755906 -1.23204050 84.657898 -70.590721
    Unten rechts KachelX + 1 96360 KachelY + 1 102376 1.47760699 -1.23204050 84.660644 -70.590721
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23202457--1.23204050) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23202457--1.23204050) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47755906-1.47760699) × cos(-1.23202457) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332328908873763 × 6371000     		do = 101.480630241439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47755906-1.47760699) × cos(-1.23204050) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.332313884236125 × 6371000     		du = 101.47604228759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23202457)-sin(-1.23204050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332328908873763-0.332313884236125)×R²
    abs(1.47760699-1.47755906)×1.50246376381391e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50246376381391e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50246376381391e-05×40589641000000     		ar = 10299.039392123m²